【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第4章第4节平面向量的应用举例课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.[解析] 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴＝(1,2)，＝(－2,2)，∴·＝1×(－2)＋2×2＝2.[答案] 22．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(m，m＋1)，若∥，则实数m的值为________．[解析] 依题意得，＝(3,1)，由∥，得3(m＋1)－m＝0，∴m＝－.[答案] －3．(2014·徐州调研)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则a·b＝________.[解析] ∵a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．∴a·b＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.6\n[答案] 54．(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为________．[解析] 根据题意得：M(2,0)，N(0,2)．设P(2cosθ，2sinθ)，则＝(2－2cosθ，－2sinθ)，＝(－2cosθ，2－2sinθ)，所以·＝－4cosθ＋4cos2θ－4sinθ＋4sin2θ＝4－4(sinθ＋cosθ)＝4－4sin，因为－1≤sin≤1，所以4－4≤·≤4＋4，所以·的最大值为4＋4.[答案] 4＋45．(2014·宿迁调研)已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹方程是________．[解析] ＝(－2－x，－y)，＝(－x，－y)，则·＝(－2－x)(－x)＋(－y)2＝x2，∴y2＝－2x.[答案] y2＝－2x6．(2014·常州质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为原点，则正实数a的值为________．[解析] 由|＋|＝|－|，知⊥，∴|AB|＝2，则得点O到AB的距离d＝，∴＝，解得a＝2(a>0)．[答案] 26\n7．(2014·南京、盐城二模)已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为________．[解析] 令＝，＝，因为||＝1，||＝2，所以||＝||，由＝＋＝＋，得四边形OA1CB1为菱形．因为菱形对角线平分所对角，因此∠AOC＝60°.[答案] 60°8．如图443，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，＝，＝.若·＝－，则·＝________.图443[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则·＝·(1，－a)＝－＝－，解得a＝2，所以＝，＝(－1，－2)，所以·＝－.[答案] －二、解答题9．(2014·苏北四市质检)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2，－1)．(1)若a⊥b，求的值；(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．6\n[解] (1)由a⊥b可知，a·b＝2cosθ－sinθ＝0，所以sinθ＝2cosθ，所以＝＝.(2)由a－b＝(cosθ－2，sinθ＋1)，可得|a－b|＝＝＝2，即1－2cosθ＋sinθ＝0，①又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，②由①②可解得所以sin＝(sinθ＋cosθ)＝＝.10．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(sin2x,1－cos2x)，c＝(0,1)，x∈(0，π)．(1)向量a，b是否共线？并说明理由；(2)求函数f(x)＝|b|－(a＋b)·c的最大值．[解] (1)b＝(sin2x,1－cos2x)＝(2sinxcosx,2sin2x)＝2sinx(cosx，sinx)＝2sinx·a，且|a|＝1，即a≠0.∴a与b共线．(2)f(x)＝|b|－(a＋b)·c＝2sinx－(cosx＋sin2x,1－cos2x＋sinx)·(0,1)＝2sinx－1＋cos2x－sinx＝sinx－1＋1－2sin2x＝－2sin2x＋sinx＝－22＋.∴当sinx＝时，f(x)有最大值.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·南京、盐城二模)在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为________．[解析] 因为DC＝2BD，所以＝＋.平方得：2＝2＋2＋||·||cosθ，θ∈(0，π)，即k2＝×32＋×12＋×3×1×cosθ＝＋cosθ∈，因为6\nk＞0，所以k∈.[答案] 2．设O是△ABC外接圆的圆心，＝x＋y，且||＝6，||＝8,4x＋y＝2，则·＝________.[解析] 依题意＝x＋y＝2x·＋·(2)，设＝，＝2，则E是AB中点，C是AF中点，＝2x·＋·.又因为4x＋y＝2，所以2x＋＝1，由三点共线的充要条件知E、O、F三点共线．由题意不难发现OE⊥AB，即EF⊥AB，那么在Rt△AEF中cos∠BAC＝＝，∴·＝6×8×cos∠BAC＝9.[答案] 9二、解答题3．(2014·南京质检)设a＝(cosα，(λ－1)sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝，且tanβ＝，求tanα的值．[解] (1)由(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|2－|b|2＝0，∴cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0.∴(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，∵0＜α＜，∴sinα≠0，∴λ2－2λ＝0，∴λ＝2(λ＞0)．(2)由(1)知，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，∵0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0，∴sin(α－β)＝－，tan(α－β)＝－.∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝6\n＝＝.6
