【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第10节导数及其运算课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．下列函数求导运算正确的是________(填序号)．①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③′＝x；④(x·ex)′＝ex＋1.[解析] ①(3x)′＝3xln3；②(log2x)′＝；③′＝－＝－；④(x·ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)．因此正确的运算只有②.[答案] ②2．(2014·南京调研)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[解析] ∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.[答案] y＝4x－33．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.[解析] 令ex＝t，则x＝lnt，所以f(x)＝lnx＋x.f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.[答案] 24．在曲线y＝x3－3x＋1的所有切线中，斜率最小的切线方程为________．[解析] 设切点为P(x0，y0)，∵y′＝3x2－3，∴切线斜率k＝3x－3≥－3，当k＝－3时，切点为P(0,1)．∴切线方程为y－1＝－3x，即y＝－3x＋1.4\n[答案] y＝－3x＋15．(2014·南京开学调研)曲线y＝x＋sinx在点(0,0)处的切线方程是________．[解析] ∵y＝x＋sinx，∴y′＝1＋cosx，当x＝0时，y′＝1＋cos0＝2，故切线方程为y－0＝2(x－0)即y＝2x.[答案] y＝2x6．(2014·常州模拟)曲线y＝x2ex＋2x＋1在点P(0,1)处的切线与x轴交点的横坐标是________．[解析] ∵y′＝2xex＋x2ex＋2，∴y′|x＝0＝2，∴曲线在点P(0,1)处的切线为y－1＝2x，即y＝2x＋1.令y＝0得x＝－.[答案] －7．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是________．[解析] 设点P的横坐标为x0，由y′＝2x＋2得y′|x＝x0＝2x0＋2，由题意知0≤2x0＋2≤1，解得－1≤x0≤－.[答案] 8．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为________．[解析] f′(x)＝2x－2－>0，即>0，∵x>0，∴(x－2)(x＋1)>0，故x>2.[答案] (2，＋∞)二、解答题9．曲线y＝和y＝x2在它们的交点处的两条切线与x轴围成一个三角形，求三角形的面积．[解] y＝和y＝x2联立解得两曲线的交点为(1,1)，y＝的导函数为y′＝－，∴它在交点处的切线斜率为－1，它在交点处的切线方程为y－1＝－(x－1)，它与x轴交点的坐标为(2,0)，y＝x2的导函数为y′＝2x，∴它在交点处的切线斜率为2，它在交点处的切线方程为y－1＝2(x－1)，它与x轴交点的坐标为，∴两条切线与x4\n轴所围成的三角形的面积为××1＝.10．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值．[解] (1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直．∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0又点(x0，y0)在C1与C2上，故有⇒2x－(a＋2)x0＋2－b＝0由①②消去x0，可得a＋b＝.(2)由(1)知：b＝－a，∴ab＝a＝－2＋.∴当a＝时，(ab)最大值＝.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·镇江模拟)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．[解析] 由y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，得f′(2)＝2，f(2)＝3，于是由g(x)＝x2＋f(x)，得g′(x)＝2x＋f′(x)，从而g(2)＝22＋f(2)＝7，g′(2)＝2×2＋f′(2)＝6，∴y＝g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.[答案] 6x－y－5＝02．(2014·泰州中学检测)已知点A(1,1)和点B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d为常数)上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝________.4\n[解析] 设f(x)＝ax3＋bx2＋d，∵f′(x)＝3ax2＋2bx，∴f′(1)＝3a＋2b，f′(－1)＝3a－2b.根据题意得3a＋2b＝3a－2b，∴b＝0.又点A(1,1)和点B(－1，－3)在曲线C上，∴解得a3＋b2＋d＝7.[答案] 7二、解答题3．已知曲线y＝x3＋，求(1)曲线在x＝2处的切线方程；(2)曲线过点(2,4)的切线方程．[解] (1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.4
