【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第2节函数的单调性与最值课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·北京高考改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．①y＝；②y＝(x－1)2；③y＝2－x；④y＝log0.5(x＋1)．[解析] ①，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；②，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；③，函数y＝2－x＝x在R上为减函数，故错误；④，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．[答案] ①2．(2014·陕西高考改编)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________．①f(x)＝x；②f(x)＝x3；③f(x)＝x；④f(x)＝3x.[解析] 指数函数满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，又f(x)＝3x是增函数．[答案] ④3．给出如下三个函数：①y＝ln(x＋2)；②y＝－；③y＝x＋.其中在区间(0，＋∞)上为增函数的是________________．(写出所有增函数的序号)[解析] y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数；y＝－在(－1，＋∞)上为减函数；y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．[答案] ①4．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．[解析] f(x)＝e|x－a|＝ ∴f(x)在[a，＋∞)上是增函数．从而[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1.[答案] (－∞，1]4\n5．函数f(x)为减函数，且f(x)>0，则y＝logf(x)是单调________函数．[解析] 由y＝logu(u>0)是减函数，可得复合函数y＝logf(x)为单调递增函数．[答案] 递增6．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．[解析] 令＝t则t≥0，y＝t－t2＝－2＋，当t＝时，y有最大值.[答案] 7．(2014·马鞍山模拟)若函数y＝在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．[解析] ∵y＝＝a＋在(－∞，－1)上是减函数，∴－a－1＞0，∴a＜－1.[答案] (－∞，－1)8．(2014·徐州模拟)设函数f(x)＝的最小值为2，则实数a的取值范围是________．[解析] 当x≥1时，f(x)≥2，当x<1时，f(x)>a－1，由题意知a－1≥2即a≥3.[答案] [3，＋∞)二、解答题9．已知f(x)＝(x≠a)，(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．[解] (1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0.∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)f(x)＝＝＝1＋，4\n当a>0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数．又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，∴0<a≤1，故a的取值范围为(0,1]．10．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，f′(x)＝1－>0，x∈[1，＋∞)，即f(x)在[1，＋∞)上是增函数．所以f(x)min＝f(1)＝1＋＋2＝.(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，∴－3＜a≤0.②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3.∴a＋3＞0，a＞－3.∴0＜a≤1.综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1]．[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·金华十校调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是________．①y＝－x；②y＝x2－x；③y＝lnx－x；④y＝ex－x.[解析] ①y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数．②在内是减函数，内是增函数，③④在(0，＋∞)内的单调性不确定．[答案] ①4\n2．已知函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是________．[解析] 函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是.[答案] 二、解答题3．(2014·扬州质检)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A＝{x|f(x)＝x}．(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．[解] (1)由f(0)＝2可知c＝2，又A＝{1,2}，故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两实根．∴解得a＝1，b＝－2.故m＝f(1)＝1，M＝f(－2)＝10.(2)依题设，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两等根x＝1.∴即∴f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝＝1－，又a≥1，故1－∈，∴M＝f(－2)＝9a－2；m＝f＝1－.g(a)＝M＋m＝9a－－1，又g(a)在区间[1，＋∞)上为单调递增的，∴当a＝1时，g(a)min＝.4
