【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第12节导数的综合应用课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·南京、盐城模拟)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调递减区间为________．[解析] 令f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex<0，解得－2<x<－1.[答案] (－2，－1)2．已知f(x)＝1＋x－sinx，试比较f(2)，f(3)，f(π)的大小为________．[解析] f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0，π]上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)．[答案] f(π)＞f(3)＞f(2)3．(2014·镇江模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)<f(3x)，则实数x的取值范围是________．[解析] 由f(x)＝lnx＋2x，得f′(x)＝＋2xln2>0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x2＋2)<f(3x)，得0<x2＋2<3x，∴x∈(1,2)．[答案] (1,2)4．(2013·四川高考改编)设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在x∈[0,1]，设f(x)＝x成立，则实数a的取值范围是________．[解析] 依题意＝x在x∈[0,1]上有解，∴a＝ex＋x－x2，x∈[0,1]．令φ(x)＝ex＋x－x2，x∈[0,1]，则φ′(x)＝ex－2x＋1≥0，∴φ(x)在x∈[0,1]上单调递增，又φ(0)＝1，φ(1)＝e，所以a∈[1，e]．[答案] [1，e]5．(2014·宿迁调研)设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1(其中＝－P，Q′是Q的导数)，则商品价格P的取值范围是________．6\n[解析] 由Q＝100－5P得Q′＝－5，由＝－P知，>1，解得10<P<20.又由Q>0得P<20，综上知P的取值范围是(10,20)．[答案] (10,20)6.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图2123所示，则下列结论中一定成立的是________．①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；图2123④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．[解析] 由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0，当－2<x<1，f′(x)<0，函数f(x)有极大值f(－2)．又当1<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，故函数f(x)有极小值f(2)．[答案] ④7．(2012·福建高考改编)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．[解析] ∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得1<x<3，由f′(x)>0，得x<1或x>3，∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，y极小值＝f(3)＝－abc<0，∴0<abc<4.∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．6\n∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正确结论的序号是②③.[答案] ②③8．做一个圆锥漏斗，其母线长为20cm，使其体积最大，则其高为________cm.[解析] 设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，则V＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝.当0<h<时，V′>0；当<h<20时，V′<0；∴当h＝cm时，V最大．[答案] 二、解答题9．(2014·镇江质检)已知x＝1是函数f(x)＝ax3－x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．[解] (1)f′(x)＝ax2－3x＋a＋1＝0，由f′(1)＝0，得a＝1，∴y＝x3－x2＋2x＋5.(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，即x3－x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个根，即有3个零点．由g(x)′＝x2－3x＝0得x＝0或x＝3.由g′(x)>0得x<0或x>3，由g′(x)<0得0<x<3.∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数，要使g(x)有三个零点，只需解得：<m<5.即实数m的取值范围为.6\n10．(2014·扬州调研)已知函数f(x)＝2x2＋，g(x)＝lnx＋b.(1)当b＝0时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极值；(2)若b是正整数，且g(x)≤ax≤f(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，试求b的值及a的取值范围．[解] (1)当b＝0时，h(x)＝2x2＋－lnx，h′(x)＝4x－＝(x>0)，令h′(x)＝0得，x＝或x＝－(舍去)，当0<x<时，h′(x)<0，此时函数h(x)在上单调递减；当x>时，h′(x)>0，此时函数h(x)在上单调递增，∴当x＝时，h(x)有极小值h＝1＋ln2.(2)∵g(x)≤ax≤f(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，∴g(x)≤f(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，即b≤2x2＋－lnx，由(1)知，h(x)＝2x2＋－lnx当x＝时有极小值，也是最小值，∴b≤1＋ln2，∵b是正整数，且1＋ln2∈(1,2)，∴b＝1.又g(x)≤ax≤f(x)，即≤a≤2x＋，∵2x＋≥2，∴a≤2，设φ(x)＝，则φ′(x)＝－，令φ′(x)＝0，则x＝1，当0<x<1时，φ′(x)>0；当x>1时，φ′(x)>0.当x＝1时，φ′(x)有极大值，也是最大值1，∴a≥1，∴1≤a≤2，综上所述，b＝1，a的取值范围是{a|1≤a≤2}．6\n[B级 能力提升练]一、填空题1．(2013·湖北高考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．[解析] f′(x)＝lnx＋1－2ax，令f′(x)＝0得lnx＝2ax－1.∵f(x)有两个极值点，∴函数y＝lnx与y＝2ax－1的图象有两个交点．直线y＝2ax－1过定点(0，－1)，设过(0，－1)的直线与y＝lnx的图象相切的切点为(x0，lnx0)，由y′|x＝x0＝，得＝，∴x0＝1，切点为(1,0)．[答案] 2．(2014·盐城模拟)设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f()>·f()的解集为________．[解析] 设F(x)＝xf(x)，则由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数F(x)是R上的增函数．又>0，∴由f()>f()可变形得f()>f()，即F()>F()，∴解得1≤x<2.[答案] [1,2)二、解答题3．(2014·常州调研)几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②当60≤x≤70时，t(x)＝－100x＋7600.设该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M关于销售价格x的函数关系式；(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．[解] (1)当x＝60时，t(60)＝1600，代入t(x)＝－a(x＋5)2＋10050，解得a＝2.∴M(x)＝即M(x)＝(2)设g(u)＝(－2u2－20u＋10000)(u－34)－20000,34≤u<60，u∈R，则g′(u)＝－6(u2－16u－1780)．令g′(u)＝0，解得u1＝8－2(舍去)，6\nu2＝8＋2∈(50,51)．当34<u<50时，g′(u)>0，g(u)单调递增；当51<u<60时，g′(u)<0，g(u)单调递减．∵x∈N*，M(50)＝44000，M(51)＝44226，∴M(x)的最大值为44226.当60≤x≤70时，M(x)＝100(－x2＋110x－2584)－20000单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)＝21600.综上所述，当x＝51时，月利润M(x)有最大值44226元．故该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．6
