高考必备——高中数学常用公式及常用结论一、集合与简易逻辑1.德摩根公式∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).2.包含关系A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA⇔A∩∁UB=∅⇔∁UA∪B=R.3.集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2n个;真子集有2n-1个;非空子集有2n-1个;非空真子集有2n-2个.4.真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假5.充要条件(1)充分条件:若p⇒q,则p是q充分条件.(2)必要条件:若q⇒p,则p是q必要条件.(3)充要条件:若p⇒q,且q⇒p,则p是q充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.二、函数1.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);(3)零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.函数的单调性(1)设x1,x2∈[a,b],x1≠x2,那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.3.函数的奇偶性(1)若函数y=f(x)是偶函数,则f(x+a)=f(-x-a);(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a).4.函数的对称性(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x);11\n(2)对于函数y=f(x)(x∈R),f(x+a)=f(b-x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x=;(3)两个函数y=f(x+a)与y=f(b-x)的图象关于直线x=对称;(4)若f(x)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点对称.5.函数的周期性(约定a>0)(1)f(x)=f(x+a),则f(x)的周期T=a;(2)f(x)=-f(x+a),或f(x+a)=(f(x)≠0),或f(x+a)=-(f(x)≠0),或+=f(x+a),(f(x)∈[0,1]),则f(x)的周期T=2a.6.图象平移若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数y=f(x-a)+b的图象;若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位,得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象.7.分数指数幂(1)a=(a>0,m,n∈N*,且n>1).(2)a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1).8.根式的性质(1)()n=a;(2)当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|=9.有理指数幂的运算性质(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).10.指数式与对数式的互化式logaN=b⇔ab=N(a>0,a≠1,N>0)11.对数的换底公式logaN=(a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,N>0).推论logambn=logab(a>0,且a>1,m,n>0,且m≠1,n≠1,N>0).12.对数的四则运算法则11\n若a>0,a≠1,M>0,N>0,则(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R).三、导数1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f′(x0),相应的切线方程是y-y0=f′(x0)(x-x0).2.几种常见函数的导数(1)C′=0(C为常数).(2)(xn)′=nxn-1(n∈Q).(3)(sinx)′=cosx.(4)(cosx)′=-sinx.(5)(lnx)′=;(logax)′=.(6)(ex)′=ex;(ax)′=axlna.3.导数的运算法则(1)(u±v)′=u′±v′.(2)(uv)′=u′v+uv′.(3)′=(v≠0).(文)4.判别f(x0)是极大(小)值的方法当函数f(x)在点x0处连续时,(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)是极小值.四、三角函数、解三角形1.同角三角函数的基本关系式sin2θ+cos2θ=1;tanθ=.2.正弦、余弦的诱导公式sin=cos=3.和角与差角公式Tα±β:sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;Cα±β:cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;11\nTα±β:tan(α±β)=.4.辅助角公式asinα+bcosα=sin(α+φ).5.二倍角公式S2α:sin2α=2sinαcosα;C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;T2α:tan2α=.6.三角函数的周期公式(1)函数y=sin(ωx+φ),x∈R及函数y=cos(ωx+φ),x∈R(A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=;(2)函数y=tan(ωx+φ),x≠kπ+,k∈Z(A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=.7.正弦定理===2R.8.余弦定理(1)a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.(2)求角:cosA=;cosB=;cosC=.9.三角形面积定理(1)S=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高).(2)S=absinC=bcsinA=casinB.10.三角形内角和定理在△ABC中,有A+B+C=π⇔C=π-(A+B)⇔=-⇔2C=2π-2(A+B).五、向量1.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么(1)结合律:λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.2.向量的数量积的运算律11\n(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=λa·b=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.3.向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.4.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ.5.平面向量的坐标运算(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2).(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(4)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2-x1,y2-y1).(5)设a=(x,y),则|a|=.6.两向量的夹角公式设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则cosθ==.7.向量的平行与垂直a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0.a⊥b(a≠0)⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.8.两向量的夹角公式cosθ=(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).9.三角形四“心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔2=2=2.(2)O为△ABC的重心⇔++=0.(3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·.(4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.六、数列1.数列的通项公式与前n项的和的关系an=(数列{an}的前n项的和为Sn=a1+a2+…+an).2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N*);11\n其前n项和公式为Sn==na1+d=n2+n.3.等比数列的通项公式an=a1qn-1=·qn(n∈N*);其前n项的和公式为Sn=或Sn=七、不等式1.常用不等式(1)a,b∈R⇒a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).(2)a,b∈R+⇒≥(当且仅当a=b时取“=”号).2.最值定理已知xy都是正数,则有(1)若积xy是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2;(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积xy有最大值s2.八、立体几何1.柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积=2πrl,表面积=2πrl+2πr2,圆锥侧面积=πrl,表面积=πrl+πr2,V柱体=Sh (S是柱体的底面积,h是柱体的高).V锥体=Sh (S是锥体的底面积,h是锥体的高).球的半径是R,则其体积V=πR3,其表面积S=4πR2.2.证明直线与直线平行的方法(1)三角形中位线;(2)平行四边形(一组对边平行且相等).3.证明直线与平面平行的方法(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行);(2)先证面面平行.4.证明平面与平面平行的方法平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行).5.证明直线与直线垂直的方法转化为证明直线与平面垂直.6.证明直线与平面垂直的方法11\n(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直).(2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面).7.证明平面与平面垂直的方法平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直).九、解析几何1.斜率公式k=(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)且x1≠x2).2.直线的五种方程(1)点斜式y-y1=k(x-x1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).(2)斜截式y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式=(P1(x1,y)、P2(x2,y2)且x1≠x2,y1≠y2).(4)截距式+=1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b≠0).(5)一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若l1∶y=k1x+b1,l2∶y=k2x+b2①l1∥l2⇔k1=k2,b1≠b2;②l1⊥l2⇔k1k2=-1;(2)若l1∶A1x+B1y+C1=0,l2∶A2x+B2y+C2=0,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1∥l2⇔=≠;②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.4.点到直线的距离d=(点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0).5.圆的方程(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(圆心坐标为(a,b),半径为r).(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).(3)圆的直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2).6.点与圆的位置关系点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种:d>r⇔点P在圆外;d=r⇔点P在圆上;d<r⇔点P在圆内,其中d=.7.直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种:d>r⇔相离⇔Δ<0;d=r⇔相切⇔Δ=0;d<r⇔相交⇔Δ>0.11\n其中d=.8.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,|O1O2|=d,d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线;d=r1+r2⇔外切⇔3条公切线;|r1-r2|<d<r1+r2⇔相交⇔2条公切线;d=|r1-r2|⇔内切⇔1条公切线;0<d<|r1-r2|⇔内含⇔无公切线.9.圆的切线方程(1)已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0.①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条,其方程是x0x+y0y=++F=0.当(x0,y0)在圆外时,x0x+y0y+++F=0表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.③斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线.(2)已知圆x2+y2=r2.①过圆上的P0(x0,y0)点的圆的切线方程为x0x+y0y=r2;②斜率为k的圆的切线方程为y=kx±r.10.点与椭圆的位置关系(1)点P(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)的内部⇔+<1.(2)点P(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)的外部⇔+>1.11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|=或|AB|==|x1-x2|=|y1-y2|·(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)由方程消去y得到ax2+bx+c=0,Δ>0,α为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率).12.椭圆的切线方程(1)椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是+=1.(2)过椭圆+=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是+=1.(3)椭圆+=1(a>b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2.13.点与双曲线的位置关系11\n(1)点P(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的内部⇔->1.(2)点P(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的外部⇔-<1.14.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为-=1⇒渐近线方程:-=0⇔y=±x.(2)若双曲线与-=1有公共渐近线,可设为-=λ(λ>0,焦点在x轴上,λ<0焦点在y轴上).15.双曲线的切线方程(1)双曲线-=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是-=1.(2)过双曲线-=1(a>0,b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是-=1.(3)双曲线-=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=c2.16.抛物线y2=2px的焦半径公式抛物线y2=2px(p>0)焦半径|CF|=x0+.过焦点弦长|CD|=x1++x2+=x1+x2+p.11\n17.点与抛物线的位置关系(1)点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部⇔y<2px0(p>0).点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)的外部⇔y>2px0(p>0).(2)点P(x0,y0)在抛物线y2=-2px(p>0)的内部⇔y<-2px0(p>0).点P(x0,y0)在抛物线y2=-2px(p>0)的外部⇔y>-2px0(p>0).(3)点P(x0,y0)在抛物线x2=2py(p>0)的内部⇔x<2py0(p>0).点P(x0,y0)在抛物线x2=2py(p>0)的外部⇔x>2py0(p>0).(4)点P(x0,y0)在抛物线x2=2py(p>0)的内部⇔x<2py0(p>0).点P(x0,y0)在抛物线x2=-2py(p>0)的外部⇔x>-2py0(p>0).18.抛物线的切线方程(1)抛物线y2=2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).(2)过抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y=p(x+x0).(3)抛物线y2=2px(p>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.(文)十、概率与统计1.平均数、方差、标准差的计算平均数:=,方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],标准差:s=.2.回归直线方程y=a+bx,其中b==.3.独立性检验K2=.4.古典概型的计算必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗漏,其中P(A)==.5.几何概型的概率计算公式P(A)=.11\n6.互斥事件A,B至少有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B).(文)十一、复数1.复数的相等a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).2.复数z=a+bi的模(或绝对值)|z|=|a+bi|=.3.复数的四则运算法则(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0).11