课时提升练(二十) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1.·等于( )A.-sinαB.-cosαC.sinαD.cosα【解析】 原式===cosα.【答案】 D2.=( )A. B. C.2 D.【解析】 原式===2.【答案】 C3.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,若它的终边经过点P(2,3),则tan=( )A.-B.C.D.-【解析】 由题意,α的终边过点P(2,3),则tanα=,∴tan2α==-,于是tan==-.【答案】 D4.若△ABC的内角A满足sin2A=-,则cosA-sinA=( )A.B.-C.D.-【解析】 ∵sin2A=-<0,∴A为钝角,∴cosA<0<sinA,而(cosA-sinA)2=1-2sinAcosA=1-sin2A=.∴cosA-sinA=-.【答案】 D6\n5.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值等于( )A.-B.C.-D.【解析】 ∵α∈,∴2α∈(0,π),∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,∴sin2α==,∵α,β∈,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)==.∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=×+×=.【答案】 D6.定义运算=ad-bc.若cosα=,=,0<β<α<,则β等于( )A.B.C.D.【解析】 由题意sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=,又0<β<α<,∴0<α-β<,∴cos(α-β)==,又cosα=,∴sinα=,∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=.∴β=.【答案】 D二、填空题6\n7.若f(α)=2tanα-,则f=________.【解析】 ∵f(α)=2tanα-=+=,∴f==8.【答案】 88.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanαtanβ的值为________.【解析】 由题意:cosαcosβ-sinαsinβ=,①cosαcosβ+sinαsinβ=,②①+②得cosαcosβ=,②-①得sinαsinβ=.∴tanαtanβ==.【答案】 9.(2012·江苏高考)设α为锐角,若cos=,则sin的值为________.【解析】 ∵α为锐角且cos=,∴sin=.∴sin=sin=sin2cos-cos2sin=sincos-=××-=-=.6\n【答案】 三、解答题10.(2014·江西高考)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.【解】 (1)f(x)=sin+cos=(sinx+cosx)-sinx=cosx-sinx=sin.因为x∈[0,π],所以-x∈.故f(x)在区间[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得由θ∈知cosθ≠0,∴解得11.已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈,f=-,f=,求cos(α+β)的值.【解】 (1)∵f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期T=10π=,∴ω=.(2)由(1)知f(x)=2cos,∵α,β∈,f=-,f=,6\n∴2cos=-,2cos=,即cos=-,cosβ=,∴sinα=,cosα=,sinβ=,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-.12.如图352所示,A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),C点坐标为(-2,0),平行四边形OAQP的面积为S.图352(1)求·+S的最大值;(2)若CB∥OP,求sin的值.【解】 (1)由已知得点A,B,P的坐标分别为(1,0),(0,1),(cosθ,sinθ).∵四边形OAQP是平行四边形,∴=+=(1,0)+(cosθ,sinθ)=(1+cosθ,sinθ),∴·=1+cosθ,又平行四边形OAQP的面积S=||·||sinθ=sinθ,∴·+S=1+cosθ+sinθ=sin+1.∵0<θ<π,∴当θ=时,·+S取得最大值+1.(2)由题意知,=(2,1),=(cosθ,sinθ).∵CB∥OP,∴tanθ=.又0<θ<π,∴0<θ<,由cosθ=2sinθ,cos2θ+sin2θ=1,得sinθ=6\n,cosθ=,∴sin2θ=2sinθcosθ=,cos2θ=cos2θ-sin2θ=,∴sin=sin2θcos-cos2θsin=×-×=.6