课时作业76 高考中期望与方差的热点内容1．我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城市之间开通高速列车，假设列车在试运行期间，每天在8:00～9:00,9:00～10:00两个时间段内各发一趟由A城开往B城的列车(两车发车情况互不影响)，A城发车时间及概率如下表所示：发车时间8:108:308:509:109:309:50概率若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，他们到达A城火车站的时间分别是周六8:00和周日8:20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)求甲、乙两人候车时间相等的概率；(2)设乙候车所需时间为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)由题意得，甲、乙两人的候车时间分别是10分钟，30分钟，50分钟的概率为P甲(10)＝，P甲(30)＝，P甲(50)＝；P乙(10)＝，P乙(30)＝，P乙(50)＝×＝.所以甲、乙两人候车时间相等的概率P＝×＋×＋×＝.(2)ξ的所有可能取值为10,30,50,70,90(单位：分钟)，所以ξ的分布列为ξ1030507090P数学期望E(ξ)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝.2．一个口袋装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸2个球(每次摸奖后放回)，2个球颜色不同则为中奖．(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率；(2)若n＝5，求3次摸奖中奖次数ξ＝1的概率及数学期望；(3)记3次摸奖恰有1次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？解：(1)记“一次从(n＋5)个球中摸出2个球”为事件A，6\ncard(A)＝.“一次从(n＋5)个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B，card(B)＝5n，∴所求概率P＝.(2)3次放回式摸奖中“每次从(n＋5)个球中摸出2个球且2个球异色”为独立重复事件，当n＝5时，获奖次数ξ～B，P(ξ＝1)＝，E(ξ)＝3×＝.(3)ξ～B(n，p)，P(ξ＝1)＝Cp(1－p)2＝3p3－6p2＋3p,0<p<1，令f(p)＝3p3－6p2＋3p，令f′(p)＝9p2－12p＋3＝0，解得p＝.∴当p＝时，f(p)有最大值．令p＝＝，解得n＝20.∴当n＝20时，P最大．3．(2014·四川卷)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解：(1)X可能取值有－200,10,20,100根据题意，有P(X＝－200)＝C()0(1－)3＝，P(X＝10)＝C()1(1－)2＝，P(X＝20)＝C()2(1－)1＝，6\nP(X＝100)＝C()3(1－)0＝.故分布列为X－2001020100P(2)由(1)知：每盘游戏出现音乐的概率是P＝＋＋＝，则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是P1＝1－C()0(1－)3＝.(3)由(1)知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E(X)＝－200×＋10×＋20×＋100×＝－分．这表明，获得分数X的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．1．(2014·山东卷)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为，假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．解：(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝；6\n记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则P(B3)＝，P(B1)＝，P(B0)＝1－－＝.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)＝×＋×＋×＋×＝，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝×＝，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝×＋×＝，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝×＋×＝，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝×＝.可得随机变量ξ的分布列为：ξ012346P所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.2．(2014·福建卷)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：6\n①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获得的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝＝，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.②依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为6\nX2406080PX2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.6
