课时作业11 函数与方程一、选择题1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )A.，0B．－2,0C.D．0解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.答案：D2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1，1]上有唯一实数根．答案：C3．函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：依题意得f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，故f(x)的零点所在区间是(2,3)，故选C.答案：C4．(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}解析：当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3x]＝－x2－3x，易求得g(x)解析式g(x7\n)＝当x2－4x＋3＝0时，可求得x1＝1，x2＝3，当－x2－4x＋3＝0时可求得x3＝－2－，x4＝－2＋(舍去)，故g(x)的零点为1,3，－2－，故选D.答案：D5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex－ax，若函数在R上有4个零点，则a的取值范围是( )A．(e，＋∞)B．(－∞，e)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)解析：当x＝0时，f(0)＝1，当x≥0时，f′(x)＝ex－a，要使函数在R上有4个零点，必有a>0.令f′(x)＝0得x＝lna，所以当x∈(0，lna)时，f(x)为减函数，当x∈(lna，＋∞)时，f(x)为增函数，只需f(lna)＝elna－alna＝a－alna<0，即a>e.所以a∈(e，＋∞)．答案：A6．(2014·山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A.B.C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：画出f(x)＝|x－2|＋1的图象如图所示．由数形结合知识，可知若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点．所以函数g(x)＝kx的图象应介于直线y＝x和y＝x之间，所以k的取值范围是.答案：B二、填空题7．函数f(x)＝的零点个数为________．解析：法1：令f(x)＝0，得或解得x＝－3或x＝e2，所以函数f(x)有两个零点．法2：画出函数f(x)的图象(图略)可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x7\n)有两个零点．答案：28．已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．解析：函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．当m＝0时，不合题意，舍去；当m≠0时，∵＝m|x|⇔＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足0<<1，解得m>1.答案：m>19．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为________．解析：如图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x)与g(x)的图象共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点．故函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]上共有14个零点．答案：14三、解答题10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.7\n证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝，g＝f－＝－，∴g(0)·g<0，又函数g(x)在上连续，∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.11．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝92＋>0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．1．方程log5x＝|sinx|的解的个数为( )A．1B．37\nC．4D．5解析：函数y＝log5x和y＝|sinx|的图象的交点的个数即为方程解的个数，作出这两个函数的图象(如图)，log5<1，＝1，但当x>2π时，log5x>1，而|sinx|≤1，故两个函数图象有三个交点，即原方程有三个解．答案：B2．已知定义在R上的函数f(x)满足：在[－1,1)上，f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )A．－7B．－6C．－8D．0解析：∵f(x)＝，且f(x＋2)＝f(x)，又g(x)＝＝2＋，∴g(x－2)－2＝.可知当x≠2k－1，k∈Z时，函数f(x)，g(x)的图象都关于(－2,2)对称．由图象可得：方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的实根有3个，设分别为x1，x2，x3，则可取x1＝－3，x2满足－5<x2<－4，x3满足0<x3<1，x2＋x3＝－4.∴方程f(x)＝g(x)在区间[－5，1]上的所有实根之和为－7.故选A.答案：A7\n3．(2014·天津卷)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．解析：分别作出函数y＝f(x)与y＝a|x|的图象，由图知，a<0时，函数y＝f(x)与y＝a|x|无交点；a＝0时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有三个交点，故a>0.当x>0，a≥2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有一个交点；当x>0,0<a<2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有两个交点；当x<0时，若y＝－ax与y＝－x2－5x－4(－4<x<－1)相切，则由Δ＝0得a＝1或a＝9(舍)．因此当x<0，a>1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有两个交点；当x<0，a＝1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有三个交点；当x<0,0<a<1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有四个交点，所以当且仅当1<a<2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|恰有4个零点．答案：(1,2)4．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋－＝.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋7\ng(x)极大值极小值当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.又因为g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点．7
