课时作业55 圆的方程 一、选择题1．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)B.C．(－∞，－3)∪D．(－3，＋∞)解析：圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.过点A(a，a)可作圆的两条切线，所以解之得a<－3或1<a<，故a的取值范围为(－∞，－3)∪.答案：C2．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )A．(－1,1)B．(－1,0)C．(1，－1)D．(0，－1)解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝＝，当k＝0时，rmax＝＝1，此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．答案：D3．已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )A.B.6\nC．－D．－解析：圆的方程变形为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(－1，1)，半径r＝1，直线kx＋y＋4＝0恒过定点B(0，－4)，当直线与直线BC垂直时，圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大，由斜率公式可得直线BC的斜率为＝－5，故k＝－.答案：D4．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)解析：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.答案：A5．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0的距离为d，则d的最小值为( )A．1B.C.D．2解析：∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0的距离为＝2，∴dmin＝2－1＝1.答案：A6．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为( )A.2＋y2＝B.2＋y2＝C．x2＋2＝D．x2＋2＝解析：由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±6\n，故圆C的方程为x2＋2＝.答案：C二、填空题7．已知圆C的圆心与点M(1，－1)关于直线x－y＋1＝0对称，并且圆C与x－y＋1＝0相切，则圆C的方程为____________________．解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，则圆心(－2,2)到直线x－y＋1＝0的距离为r，得r＝，故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝.答案：(x＋2)2＋(y－2)2＝8．圆C1的方程为(x－3)2＋y2＝，圆C2的方程为(x－3－cosθ)2＋(y－sinθ)2＝(θ∈R)，过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为________．解析：圆C2的圆心的轨迹方程是(x－3)2＋y2＝1，当∠MPN取最大值时，P点与圆C1的圆心之间的距离最小，此时dmin＝，r1＝，所以∠MPN的最大值为.答案：9．已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．解析：因为直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为＝，所以a2＝1－b2≥0，即－≤b≤.设圆M的半径为r，则r＝|PM|＝＝＝(2－b)，又－≤b≤，所以＋1≥|PM|≥－1，所以圆M的面积的最小值为(3－2)π.答案：(3－2)π三、解答题10．已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,3)，M是BC的中点．(1)求AB边所在直线的方程．(2)求以线段AM为直径的圆的方程．解：(1)因为A(－1,5)，B(－2，－1)，所以由两点式得AB的方程为＝6\n，整理得y＝6x＋11.(2)因为M是BC的中点，所以M，即M(1,1)，所以|AM|＝＝2，所以圆的半径为.所以AM的中点为，即中点为(0,3)，所以以线段AM为直径的圆的方程为x2＋(y－3)2＝5.11．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围．解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，则由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，·＝x2＋y2，即x2－y2＝2.·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于点P在圆O内，故由此得y2<1，所以·的取值范围为[－2,0)．1．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A．4B．3C．2D.解析：圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k>0，所以k＝2.答案：C6\n2．已知直线l：x＋y－6＝0和⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，点A在直线l上，若直线AC与⊙M至少有一个公共点C，且∠MAC＝30°，则点A的横坐标的取值范围是( )A．(0,5)B．[1,5]C．[1,3]D．(0,3]解析：如图所示，设点A的坐标为(x0,6－x0)，圆心M到直线AC的距离为d，则d＝|AM|sin30°.因为直线AC与⊙M有交点，所以d＝|AM|sin30°≤2⇒(x0－1)2＋(5－x0)2≤16⇒1≤x0≤5.答案：B3．(2014·湖北卷)已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则(1)b＝________；(2)λ＝________.解析：因为对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，所以可取圆上点(－1,0)，(1,0)，满足解得b＝－或b＝－2(舍去)，b＝－，λ＝，故答案为(1)－，(2).答案：(1)－ (2)4．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．解：(1)设＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，·＝0，得解得或6\n若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB>0矛盾．所以舍去．即＝(6,8)．(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，其圆心为C(3，－1)，半径r＝，∵＝＋＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，∴直线OB的方程为y＝x.设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，则解得∴所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.6
