【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明单元质量检测理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．若x>0，y>0，则“x＋y>1”是“x2＋y2>1”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析：在平面坐标系中，画出x＋y>1与x2＋y2>1表示的图形区域，可知x2＋y2>1成立可以得到x＋y>1成立，反过来则不成立，所以“x＋y>1”是“x2＋y2>1”的必要非充分条件，故选B.答案：B2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A．b－a>0B．a3＋b3<0C．a2－b2<0D．b＋a>0解析：由a－|b|>0得a>|b|≥0，所以a>0且a＋b>0，故选D.答案：D3．函数y＝(x>1)的最小值是( )A．2＋2B．2－2C．2D．2解析：由y＝＝＝(x＋1)＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2.等号成立的条件是x＝1＋.答案：A4．条件p：<2x<16，条件q：(x＋2)(x＋a)<0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是( )A．(4，＋∞)B．[－4，＋∞)C．(－∞，－4]D．(－∞，－4)解析：由<2x<16，得2－2<2x<24，即－2<x<4.由p⇒q而q⇒/p可得(x＋2)(x＋a)<0⇒－2<x<－a且－a>4得a<－4，故选D.8\n答案：D5．已知x，y满足则z＝x－y的取值范围是( )A．[－，1]B．[－1,1]C．[－，]D．[－1，]解析：因为x，y满足所以得到可行域如图阴影部分所示，目标函数y＝x－z过点A(1,0)时在y轴的截距最小，此时zmax＝1；过点B时，目标函数在y轴的截距最大，此时zmin＝－最小．所以z∈[－，1]．答案：A6．已知函数f(x)＝ax2，g(x)＝，且f(2)＝g(2)，则当x≠0时函数y＝f(x)＋g(x2)的最小值等于( )A．1B.C．2D．2解析：由f(2)＝g(2)得4a＝1，所以a＝，于是y＝＋≥2＝.当且仅当x2＝2时取等号，故函数y＝f(x)＋g(x2)的最小值等于.答案：B7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3，或x>1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为( )8\n解析：由f(x)<0的解集为{x|x<－3，或x>1}知a<0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．答案：B8．在平面内，设半径分别为r1，r2的两个圆相离且圆心距为d，若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则|MN|的最大、最小值分别为d＋r1＋r2和d－r1－r2，若空间中，设半径分别为R1，R2的两个球相离且球心距为d，若点M，N分别在两个球的球面上运动，则|MN|的最大、最小值分别为( )A．d－R1－R2和d＋R1＋R2B．d＋R1＋R2和d－R1－R2C．d－R1＋R2和d＋R1－R2D．R1＋R2－d和0解析：因为在由平面图形到空间图形的类比推理中，圆对应球．“在平面内，设半径分别为r1，r2的两个圆相离且圆心距为d，若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则|MN|的最大、最小值分别为d＋r1＋r2和d－r1－r2”，我们可类比推理出：“在空间中，设半径分别为R1，R2的两个球相离且球心距为d，若点M，N分别在两个球的球面上运动，则|MN|的最大、最小值分别为d＋R1＋R2和d－R1－R2”．答案：B9．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A．809B．852C．786D．893解析：前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.答案：A8\n10．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，当x∈[1,2]时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数m的取值范围是( )A.B.C．(3，＋∞)D．(4，＋∞)解析：不等式f(x)≥g(x)，即x2≥x－m，因此m≥x－x2.令h(x)＝x－x2，由于h(x)在[1,2]上单调递减，所以h(x)的最大值是h(1)＝－，因此实数m的取值范围是.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)11．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．解析：由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．答案：(－2,3)12．给出下列等式：＝2cos，＝2cos，＝2cos，请从中归纳出第n个等式：＝________.答案：2cos13．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝·的最大值为________．解析：作可行域如图阴影部分所示，z＝·＝x＋2y，显然在B(0,1)处zmax＝2.8\n答案：214．(2014·辽宁卷)对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．解析：要求|2a＋b|最大值，只需求(2a＋b)2的最大值．∵4a2－2ab＋4b2－c＝0，∴4a2＋b2＝c＋2ab－3b2.∴(2a＋b)2＝4a2＋b2＋4ab＝c＋2ab－3b2＋4ab＝c＋6ab－3b2＝c＋3b(2a－b)＝c＋·2b(2a－b)≤c＋2＝c＋2.即(2a＋b)2≤c，当且仅当2b＝2a－b，即3b＝2a时取到等号，即(2a＋b)2取到最大值．故3b＝2a时，|2a＋b|取到最大值．把3b＝2a时，即b＝代入4a2－2ab＋4b2－c＝0，可得c＝a2.∴－＋＝－＋＝－＋＝＝2－2.∴当＝时，－＋取到最小值－2.答案：－2三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．8\n解：(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.16．(10分)已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．解：(1)由于a1＝5，d＝2，∴Sn＝5n＋×2＝n(n＋4)．(2)∵Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n.∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn<Tn.归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn<Tn.17．(12分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如表：时间(将第x天记为x)x11011188\n单价(元/件)P9018而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x，Q)在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y＝f(x)．(2)在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？(结果精确到1元)解：(1)P＝x∈N*，Q＝，x∈[1,20]，x∈N*，所以y＝100QP＝100，x∈[1,20]，x∈N*.(2)因为(x－10)2[100－(x－10)2]≤2＝2500，所以当且仅当(x－10)2＝100－(x－10)2，即x＝10±5时，y有最大值．因为x∈N*，所以取x＝3或17时，ymax＝700≈4999(元)，此时，P＝7元．答：第3天或第17天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为7元为好．18．(12分)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值点；(2)若函数f(x)在区间(0,1)上恒有f′(x)>x，求实数a的取值范围；(3)已知a<1，c1>0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1,2，…)，证明：数列{cn}是单调递增数列．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－2x＋ln(x＋1)，f′(x)＝2x－2＋＝，令f′(x)＝0，得x＝±.8\n又x>－1，且x∈(－1，－)∪(，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(－，)时，f′(x)<0，∴函数f(x)的极大值点为x＝－，极小值点为x＝.(2)∵f′(x)＝2x－a＋，由f′(x)>x，得2x－a＋>x，即a<x＋(0<x<1)，又x＋＝x＋1＋－1>1，∴a≤1.(3)①当n＝1时，c2＝f′(c1)＝2c1－a＋，∵c1>0，∴c1＋1>1，又a<1，∴c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－(a＋1)>2－(a＋1)＝1－a>0，∴c2>c1，即当n＝1时结论成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，有ck＋1>ck>0.则当n＝k＋1时，ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－(a＋1)>2－(a＋1)＝1－a>0.∴ck＋2>ck＋1，即当n＝k＋1时结论成立．由①，②知数列{cn}是单调递增数列．8
