课时作业40 基本不等式一、选择题1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A．a＋b≥2B.＋>C.＋≥2D．a2＋b2>2ab解析：因为ab>0，即>0，>0，所以＋≥2＝2.答案：C2．设0<a<b，则下列不等式中正确的是( )A．a<b<<B．a<<<bC．a<<b<D.<a<<b解析：代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<＝<＝1.5<b＝2.我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．选B.答案：B3．设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是( )A．2B.C．4D．8解析：由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.答案：C6\n4．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )A．3B．4C．5D．6解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.答案：B5．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )A．－3B．2C．3D．8解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x>－1，得x＋1>0，>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案：C6．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )A．9B．8C．4D．2解析：由圆的一般方程x2＋y2－2y－5＝0知D＝0，E＝－2，所以，圆心的坐标为(0,1)．又因为直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过该圆心，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1，所以，＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2＝9.答案：A二、填空题7．若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．解析：(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．答案：98．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．解析：(am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝2(a＋b)2＝2.当且仅当m＝n＝时取等号．6\n答案：29．已知不等式·ln≥0对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：当≥1，即m≥n时，ln>0，所以－m≥0，得m≤，即n≤m≤，所以n2≤20.又因为n∈N*，所以n≤4，故≥5.所以4≤m≤5；当0<<1，即0<m<n时，有－m≤0，所以m≥，即n>m≥，故n2>20.又因为n∈N*，所以n≥5，所以4≤m<5.综上，实数m的取值范围是[4,5]．答案：[4,5]三、解答题10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)(1＋)(1＋)≥9.证明：(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＋＝＋＋＝2(＋)＝2(＋)＝2(＋)＋4≥4＋4＝8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴＋＋≥8.(2)∵(1＋)(1＋)＝＋＋＋1，6\n由(1)知＋＋≥8.∴(1＋)(1＋)≥9.11．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)由题意得，行驶时间为小时．y＝××2＋14×＝＋.x∈[50,100](2)由题意得，>0，>0由基本不等式可得，y＝＋≥2＝26当且仅当＝即x＝18∈[50,100]时等号成立．所以当x为18千米/小时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )A．1B．6C．9D．16解析：方法1：因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.方法2：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)6\n－10≥16－10＝6.方法3：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.答案：B2．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为( )A．9B．2C．3D．2解析：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc.∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a＋b＋c≤2.答案：D3．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．解析：由基本不等式得2a＋2b≥2＝2×2，即2a＋b≥2×2，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，所以2c＝＝1＋，由t≥4，得1<≤，即1<2c≤，所以0<c≤log2＝2－log23，故答案为2－log23.答案：2－log234．设关于x的不等式|x－2|<a(a∈R)的解集为A，且∈A，－∉A.(1)∀x∈R，|x－1|＋|x－3|≥a2＋a恒成立，且a∈N，求a的值；(2)若a＋b＝1，求＋的最小值，并指出取得最小值时a的值．解：(1)∵∈A，－∉A，∴<a，≥a，即<a≤，∵|x－1|＋|x－3|≥|(x－1)－(x－3)|＝2，∴a2＋a－2≤0，∴－2≤a≤1，∴<a≤1.又a∈N，∴a＝1.6\n(2)∵<a≤，∴＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝.当且仅当即时上式取等号．又∵<＝≤，∴＋的最小值是，取最小值时a＝.6
