课时作业82 不等式的证明一、填空题1．设a>b>0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴m＝－>0，n＝>0.∵m2－n2＝(a＋b－2)－(a－b)＝2b－2＝2(－)<0，∴m2<n2，从而m<n.答案：m<n2．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是y__________x(填“>”、“<”、“＝”)．解析：x2＝(＋)2＝(a＋b＋2)，y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)≥(a＋b＋2)>(a＋b＋2)．又x>0，y>0，∴y>x.答案：>3．已知a、b、c、d均为正数，且a2＋b2＝4，cd＝1，则(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)的最小值为________．解析：(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)＝(a2c2＋b2d2)·(a2d2＋b2c2)≥(a2cd＋b2cd)2＝(a2＋b2)2＝42＝16.答案：164．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．解析：∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，∴＋>＋.即M>N.答案：M>N5．若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________．5\n解析：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.当且仅当＝时等号成立，为求最小值点，需解方程组∴因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.答案： 6．记S＝＋＋＋…＋，则S与1的大小关系是________．解析：∵<，<，…，＝<，∴S＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1.答案：S<17．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：∵1＝x＋2y＋4z≤·，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时x2＋y2＋z2的最小值为.答案：8．以下三个命题：①若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；②若a、b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|<2，|y|>3，则||<，其中正确命题的序号是________．解析：①|a|－|b|≤|a－b|<1，所以|a|<|b|＋1；②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|，所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③|x|<2，|y|>3，所以<，因此<.∴①②③均正确．答案：①②③5\n9．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．解析：由柯西不等式可得(3a＋2＋3b＋2＋3c＋2)≥(＋＋)2，即9≥9，所以＋＋≥1(当且仅当a＝b＝c时取等号)．答案：1二、解答题10．(1)设x，y是不全为零的实数，试比较2x2＋y2与x2＋xy的大小；(2)设a，b，c为正数，且a2＋b2＋c2＝1，求证：＋＋－≥3.解：(1)解法1：2x2＋y2－(x2＋xy)＝x2＋y2－xy＝2＋y2.∵x，y是不全为零的实数，∴2＋y2>0，即2x2＋y2>x2＋xy.解法2：当xy<0时，x2＋xy<2x2＋y2；当xy>0时，作差：x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy>0；又x，y是不全为零的实数，∴当xy＝0时，2x2＋y2>x2＋xy.综上，2x2＋y2>x2＋xy.(2)证明：当a＝b＝c时，取得等号3.作差比较：＋＋－－3＝＋＋－－3＝a2＋b2＋c2－2＝a22＋b22＋c22>0.∴＋＋－≥3.11．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.5\n解：(1)f(x)<4，即|x＋1|＋|x－1|<4，当x≤－1时，－x－1＋1－x<4，得x>－2，∴－2<x≤－1；当－1<x<1时，x＋1＋1－x<4，得2<4，恒成立，∴－1<x<1；当x≥1时，x＋1＋x－1<4，得x<2，∴1≤x<2.综上，M＝{x|－2<x<2}．(2)证明：当a，b∈M时，－2<a<2，－2<b<2，即a2<4，b2<4，∴4－a2>0,4－b2>0，∴(4－a2)(4－b2)>0，即16－4a2－4b2＋a2b2>0，也就是4a2＋4b2<16＋a2b2，∴4a2＋8ab＋4b2<16＋8ab＋a2b2，即(2a＋2b)2<(4＋ab)2，即2|a＋b|<|4＋ab|.1．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2<－2x－1<0，解得－<x<，则M＝.所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.(2)由(1)得a2<，b2<.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.2．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.5\n解：(1)∵f(x＋2)＝m－|x|，∴f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0，a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)，＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c＝时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.5
