课时作业81 绝对值不等式一、填空题1．若不存在实数x使|x－3|＋|x－1|≤a成立，则实数a的取值集合是________．解析：|x－3|＋|x－1|的几何意义为数轴上的点到3和1的距离之和，所以函数y＝|x－3|＋|x－1|的最小值为2，实数a的取值集合是{a|a<2}．答案：{a|a<2}2．设关于x的不等式|x|＋|x－1|<a(a∈R)．若a＝2，则不等式的解集为________；若不等式的解集为∅，则a的取值范围是________．解析：a＝2时，不等式|x|＋|x－1|<2化为或或解得－<x≤0或0<x<1或1≤x<，即－<x<，故不等式的解集为.因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，所以若不等式|x|＋|x－1|<a的解集为∅，则a的取值范围是a≤1.答案： (－∞，1]3．(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为{x|－<x<}，则a＝________.解析：由题可得⇒a＝－3，故填－3.答案：－34．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，则f(－2)＝________；若f(x)≤5，则x的取值范围是________．解析：f(－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6，f(x)＝|2x－1|＋x＋3＝则或解得x∈[－1,1]．答案：6 [－1,1]5．不等式<3的解集是________．解析：不等式可化为－3<<3，4\n即⇔⇔⇔x<－1或x>.答案：(－∞，－1)∪(，＋∞)6．(2014·重庆卷)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：|2x－1|＋|x＋2|＝∴当x＝时，|2x－1|＋|x＋2|取得最小值，从而a2＋＋2≤，解得－1≤a≤.答案：[－1，]7．已知不等式|x－1|<a成立的一个充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围为________．解析：|x－1|<a得1－a<x<a＋1，∵|x－1|<a成立的一个充分条件是0<x<4，∴4≤a＋1且1－a≤0，即a≥3.答案：[3，＋∞)8．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：59．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|，若关于x不等式f(x)≥|m－1|＋|m－2|的解集是R，则实数m的取值范围是________．解析：f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|＝，结合f(x)的图象可知f(x)的最小值是f()＝.f(x)≥|m－1|＋|m－2|恒成立，只需|m－1|＋|m－2|≤.结合绝对值的几何意义可得m的取值范围是[，]．答案：[，]4\n二、解答题10．已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解关于x的不等式f(x)＋x2－1>0；(2)若g(x)＝－|x＋3|＋m，f(x)<g(x)的解集非空，求实数m的取值范围．解：(1)由题意原不等式可化为：|x－1|>1－x2，即x－1>1－x2或x－1<x2－1，由x－1>1－x2得x>1或x<－2；由x－1<x2－1得x>1或x<0.综上，原不等式的解为x>1或x<0.(2)原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|<m的解集非空．令h(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即h(x)min<m，又|x－1|＋|x＋3|≥|x－1－x－3|＝4，所以h(x)min＝4，所以m>4.11．(2014·辽宁卷)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.解：(1)f(x)＝，当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}．(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16(x－)2≤4，解得－≤x≤.因此N＝{x|－≤x≤}，故M∩N＝{x|0≤x≤}．当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－(x－)2≤.1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；4\n(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a≥|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≥0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．2．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈[－，)时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈[－，)都成立．故－≥a－2，即a≤.从而a的取值范围是(－1，]．4
