课时作业59 抛物线一、选择题1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )A.B.C．1D.解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0，故所求距离为＝.选B.答案：B2．(2014·辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－B．－1C．－D．－解析：准线方程为x＝－＝－2，则p＝4，焦点为(2,0)，则直线AF的斜率kAF＝＝－.答案：C3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )A．1B．2C．4D．8解析：由题可知准线方程为x＝－，由抛物线定义知|AF|＝x0＝x0＋，解得x0＝1，选A.答案：A7\n4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )A.B．6C．12D．7解析：由题知F(，0)，则直线的方程为y＝(x－)，代入抛物线方程得(x－)2＝3x，即x2－x＋＝0，则xA＋xB＝，∴|AB|＝＋＝12.答案：C5．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为( )A．1B．2C．3D．4解析：设A、B、C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，由抛物线的定义||＝x1＋＝x1＋，||＝x2＋，||＝x3＋，因F为△ABC的重心，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，从而||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋＝3.答案：C6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A.B.C.D．2解析：设A(x1，y1)，由抛物线定义得AF＝x1＋＝x1＋1＝3，∴x1＝2代入抛物线方程得y1＝2，∴A(2,2)．又直线AB过F(1,0)得kAB＝2，∴直线AB的方程为y＝2(x－1)与抛物线联立得2x2－5x＋2＝0，解得x2＝，∴B(，－)，|AB|＝x2＋x1＋p＝＋2＝，又O到直线AB的距离d＝，∴S△AOB＝××＝.答案：C二、填空题7\n7．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．解析：设M(x0，y0)，y＝－4x2得x2＝－y，抛物线的焦点F(0，－)，由抛物线定义得－y0＋＝1，解得y0＝－.答案：－8．如右图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．解析：作BB′⊥l，AA′⊥l，由抛物线定义得AF＝AA′＝3，BF＝BB′，由BC＝2BF＝2BB′得∠BCB′＝30°，作FM⊥AA′于M，则∠AFM＝∠BCB′＝30°，AF＝3，则AM＝，则A′M＝＝p，∴抛物线方程为y2＝3x.答案：y2＝3x9．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析：如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，∴B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.答案：67\n三、解答题10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：·是一个定值．解：(1)∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，由得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴·是一个定值．11．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设B(x3，y3)，N(x4，y4)．由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.7\n又直线AB的斜率kAB＝＝，直线MN的斜率kMN＝＝，∴＝＝＝＝2.1．已知直线l1：4x－3y＋11＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．1B．2C．3D．4解析：因为x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，所以可画图观察．如图，连接PF.d2＝|PF|，∴d1＋d2＝d1＋|PF|≥|FQ|＝＝＝3.答案：C2．(2014·辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.B.C.D.解析：依题意得准线为x＝－2，从而y2＝8x，F(2,0)，设直线AB为y－3＝k(x＋2)，由题意，联立Δ＝0，又因交点在第一象限所以k>0，解得k＝，所以B(8,8)则直线BF的斜率为＝，故选D.7\n答案：D3．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．解析：方法1：如图，以(0，a)为圆心，为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时，C存在．联立y＝x2，x2＋(y－a)2＝a有(y－a)(y－a＋1)＝0.即y＝a或y＝a－1.故a－1≥0，即a≥1.方法2：当C与原点重合时，∠ACB最小．故若存在C使得∠ACB为直角，则∠AOB≤，即·≥0，故a2－a≥0，又a>0，所以a≥1.答案：[1，＋∞)4．(2014·安徽卷)如右图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．7\n解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以＝＝2p1，＝＝2p2，故＝，所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此＝2.又由(1)中的＝知＝.故＝.7
