课时作业60 曲线与方程一、选择题1．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )解析：原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．答案：B2．动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析：设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝.由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.答案：D3．已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析：∵AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设点C(x，y)由题意可知×5×＝10，∴4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案：B7\n4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析：M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：D5．动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多一个单位长度，则动点P的轨迹方程为( )A．x2－6x－10y＋24＝0B．x2－6x－6y＋24＝0C．x2－6x－10y＋24＝0或x2－6x－6y＝0D．x2－8x－8y＋24＝0解析：本题满足条件|PA|＝|y|＋1，即＝|y|＋1，当y>0时，整理得x2－6x－10y＋24＝0；当y≤0时，整理得x2－6x－6y＋24＝0，变为(x－3)2＋15＝6y，此方程无轨迹．答案：A6．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若＝λ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为( )A．圆B．椭圆7\nC．双曲线D．抛物线解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由＝λ得(λ>0)∴，由x＋y＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1(λ>0)，∴点M的轨迹为椭圆．答案：B二、填空题7．设P是圆x2＋y2＝100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，则点M的轨迹为________．解析：如图，设M(x，y)，由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|PM|＝|OM|＋|AM|，即|OM|＋|AM|＝10，也就是说，动点M到O(0,0)及A(8,0)的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)，A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．答案：椭圆8．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)9．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．解析：7\n由＝＋，又＋＝＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.答案：＋＝1三、解答题10．已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，经过点M(，0)的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程．解：设A(x0，y0)，∵B(0,2)，M(，0)，故＝(－，2)，＝(x0－，y0)．由于＝－2，∴(－，2)＝－2(x0－，y0)．∴x0＝，y0＝－1，即A(，－1)．∵A，B都在曲线E上，∴，解得.∴曲线E的方程为x2＋＝1.11．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD7\n上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．解：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵P在圆上，∴x2＋(y)2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.1．在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，PQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程C；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．解：7\n(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，则|TS|＝2＝2，因为点M在曲线C上，所以x0＝，所以|TS|＝2＝2，是定值．2．如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．解：(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以点A坐标为，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是7\ny0＝－(2－)＋＝－，①y0＝－＝－.②由①②得p＝2.(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB的中点，知x＝，③y＝.④故切线MA，MB的方程为y＝(x－x1)＋.⑤y＝(x－x2)＋.⑥由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.⑦由③④⑦得x2＝y，x≠0.当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.因此线段AB中点N的轨迹方程为x2＝y.7
