课时作业24 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，AB＝12，sinC＝1，则abc等于( )A．123B．321C．12D．21解析：由sinC＝1，∴C＝，由AB＝12，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得，abc＝sinAsinBsinC＝1＝12.答案：C2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC＝<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．答案：C3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )A．5B.6\nC．2D．1解析：由题意知S△ABC＝AB·BC·sinB，即＝×1×sinB，解得sinB＝.∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.符合题意．故选B.答案：B5．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )A．3B.C.D．3解析：在△ABC中，由已知条件及余弦定理可得c2＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2abcos，整理得ab＝6，再由面积公式S＝absinC，得S△ABC＝×6×sin＝.故选C.答案：C6．已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC.若△ABC的面积为sinC，则角C的大小为( )A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由已知可得∴c＝1，a＋b＝.又absinC＝sinC，∴ab＝.∵cosC＝＝＝，6\n∴C＝60°.答案：B二、填空题7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.解析：由已知条件可得sinA＝，sinB＝，而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，根据正弦定理＝得c＝.答案：8．(2014·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________.解析：因为bcosC＋ccosB＝2b，所以由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB，所以sin(π－A)＝2sinB，即sinA＝2sinB.于是a＝2b，即＝2.答案：29．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a＝2csinA，c＝，△ABC的面积为，则a＋b＝________.解析：由a＝2csinA及正弦定理得＝＝，∵sinA≠0，∴sinC＝.∵△ABC是锐角三角形，∴C＝，∴S△ABC＝ab·sin＝，即ab＝6，∵c＝，由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7，解得(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.答案：5三、解答题10．(2014·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a值；6\n(2)求sin的值．解：(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正弦定理、余弦定理得a＝2b·.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－.由于0<A<π，所以sinA＝＝＝.故sin＝sinAcos＋cosAsin＝×＋×＝.11．(2014·山西四校联考)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝，sinB＝cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．解：(1)∵cosA＝，∴sinA＝＝.∴cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC.整理得tanC＝.(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，由＝知，c＝.∵sinB＝cosC＝·，∴△ABC的面积S＝acsinB＝.1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝( )A.B.6\nC.D.解析：由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得：＝⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝.答案：C2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是( )A．1B.C.D．3解析：由csinA＝acosC，所以sinCsinA＝sinAcosC，即sinC＝cosC，所以tanC＝，C＝，A＝－B，所以sinA＋sinB＝sin＋sinB＝sin，∵0<B<，∴<B＋<，∴当B＋＝，即B＝时，sinA＋sinB的最大值为.故选C.答案：C3．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________.解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2sinB＝sinA＋sinC，∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC，∴2sinB＝cosC＋sinC，∴2sinB＝sin(C＋45°)．∵A＋B＋C＝180°，且A－C＝90°，∴C＝45°－代入上式中，2sinB＝sin，∴2sinB＝cos，∴4sincos＝cos，∴sin＝，∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.6\n答案：4．已知a＝(2cosx＋2sinx,1)，b＝(y，cosx)，且a∥b.(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)＝3，·＝，且a＋c＝3＋，求边长b.解：(1)由a∥b得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin(2x＋)＋1，所以f(x)＝2sin(2x＋)＋1，又T＝＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由f(B)＝3得2sin(2B＋)＋1＝3，解得B＝.又由·＝知accosB＝，所以ac＝3.b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝(3＋)2－2×3－2×3×＝3，所以b＝.6
