课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝( )A.B.C．－D．－解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－.∴tan2α＝＝＝－.答案：D2．已知sin(π－α)＝－，则＝( )A.B．－C.D．2解析：∵sin(π－α)＝－，∴sinα＝－.∴＝＝2sinα＝－.答案：B3．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝( )A．－B．－7\nC.D.解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.答案：C4．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是( )A．－B．±C．－1D．±1解析：cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.答案：C5．已知α、β都是锐角，若sinα＝，sinβ＝，则α＋β等于( )A.B.C.和D．－和－解析：由α、β都为锐角，所以cosα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝，所以α＋β＝.故选A.答案：A6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为( )A.B.C.D.7\n解析：∵C＝120°，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC＝－tan120°＝.又∵tan(A＋B)＝，∴＝.∴1－tanAtanB＝，tanAtanB＝.答案：B二、填空题7．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin＝________.解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，sinβ＝－.∴sin(β＋)＝sinβcos＋cosβsin＝－×(－)＋(－)×(－)＝＋＝.答案：8．化简：－＝________.解析：原式＝＝－＝－tan2α.答案：－tan2α9．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于________．解析：由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α＝.∵α∈，∴cosα＝，∴α＝，∴tanα＝tan＝.答案：三、解答题10．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；7\n(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.解：(1)∵f＝Asin＝Asin＝Asin＝A＝，∴A＝.(2)由(1)知f(x)＝sin故f(θ)＋f(－θ)＝sin＋sin＝，∴＝，∴cosθ＝，∴cosθ＝.又θ∈，∴sinθ＝＝，∴f＝sin(π－θ)＝sinθ＝.11．已知，0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值．解：(1)法1：∵cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.法2：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<π，<α＋β<，∴sin>0，cos(α＋β)<0.7\n∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－，∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.1．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )A．sin(α＋β)>sinα＋sinβB．cos(α＋β)>cosαcosβC．sin(α＋β)>sin(α－β)D．cos(α＋β)>cos(α－β)解析：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．答案：C2．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝( )A.B.C.D.7\n解析：因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝.又因为在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC＝，cos∠BEC＝.于是sin∠CED＝sin＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.故选B.答案：B3．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα＝________.解析：依题设及三角函数的定义得：cosβ＝－，sin(α＋β)＝.又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sinβ＝，cos(α＋β)＝－.∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－×＋×＝.答案：4．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f＝－，α∈，求sin的值．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x7\n为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－sin4x，因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，从而cosα＝－，所以有sin＝sinαcos＋cosαsin＝.7
