课时作业25 正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题1．如上图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A．c和αB．c和bC．c和βD．b和α答案：D2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.分钟B.分钟C．21.5分钟D．2.15小时解析：9\n如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．答案：A3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )A．35海里B．35海里C．35海里D．70海里解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝＝＝70.答案：D4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理＝，∴AD＝AB·＝＝2cos10°.答案：C5．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )A.B.9\nC.D.解析：由余弦定理得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝；再由正弦定理＝代入得sin∠BAC＝＝.答案：C6．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始__________h后，两车的距离最小．( )A.B．1C.D．2解析：如图所示，设过xh后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x，∴y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos60°整理得y2＝12900x2－42000x＋40000(0≤x≤2.5)∴当x＝时y2最小．答案：C二、填空题7．在直径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m.解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．9\n答案：58．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝.已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝800＋100－2×20×10×＝340，所以BC＝2，该货船的船速为4海里/小时．答案：49．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________；边长AC的取值范围为________．解析：由正弦定理得，＝，∴＝，∴＝，∴＝2.在锐角△ABC中，即∴<A<.由＝2得AC＝2cosA∈(，)．答案：2 (，)三、解答题9\n10．如上图，A，B是海平面上的两个小岛，为测量A，B两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD航行，在t1时刻航行到C处，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，1小时后，测量船到达D处，测得∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B两小岛间的距离．(注：A、B、C、D四点共面)解：由已知得CD＝15，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∴∠CAD＝30°，在△ACD中，由正弦定理得＝，∴AD＝15；∵∠BDC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°，在△BCD中，由正弦定理得，＝，∴BD＝5；在△ABD中，∠ADB＝45°，由余弦定理得AB＝＝＝5故两小岛间的距离为5海里．11．(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC.②由①，②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.(2)四边形ABCD的面积9\nS＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC＝sin60°＝2.1．在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)( )A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m解析：依题意画出示意图，则＝，∴CM＝×10≈37.3(m)．答案：C2．(2014·浙江卷)9\n如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)，若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是( )A.B.C.D.解析：由题意，在△ABC中，sin∠ACB＝＝＝，则cos∠ACB＝.作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示．设PH＝x，则CH＝x，在△ACH中，由余弦定理得AH＝＝，tan∠PAH＝＝≤(>0)，9\n故当＝时，最大值为.答案：D3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析：设MN＝xm，则MA＝m．△ABC中，BC＝100m，则AC＝100m，在△MAC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，则＝解得x＝150.答案：1504．山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a.(1)如图(1)，若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用a，α，β表示山的高度h.(2)如图(2)，若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的正投影．已知石塔高度a＝20，当观测点E在AD上满足DE＝60时，看BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h.9\n解：(1)在△ABC中，∠BAC＝α－β，∠BCA＝90°＋β，在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AB＝＝.则h＝AB·sinα－a＝－a＝.(2)设DE＝x，∵tan∠BED＝，tan∠CED＝，∴tan∠BEC＝＝＝≤.当且仅当x＝，即x＝时，tan∠BEC最大，从而∠BEC最大，由题意，＝60，解得h＝180.9
