课时作业13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是( )A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析：∵y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，∴y′|x＝1＝2cos1－sin1.答案：B2．(2014·大纲卷)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A．2eB．eC．2D．1解析：y′＝ex－1＋x·ex－1，∴y′|x＝1＝e0＋1×e0＝2.答案：C3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0B．1C．2D．3解析：因为y′＝a－，所以在点(0,0)处切线的斜率为a－1＝2，解得a＝3，故选D.答案：D4．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( )A．9x－y－16＝0B．9x＋y－16＝0C．6x－y－12＝0D．6x＋y－12＝0解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3，由于f′(x)是偶函数，所以a＝0，此时f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝9，f(2)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.答案：A5．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则5\nf′(0)＝( )A．212B．29C．28D．26解析：f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，故f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝212.答案：A6．函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是( )A．4B．2C.D．2解析：f′(x)＝－eax，所以x＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝－，又f(0)＝－，所以切线方程为y＋＝－(x－0)即ax＋by＋1＝0，由题意该直线与圆x2＋y2＝1相切，故＝1即a2＋b2＝1，由a2＋b2≥得a＋b≤，故最大值为.答案：C二、填空题7．函数y＝f(x)的图象在点P(3，f(3))处的切线方程为y＝x＋2，f′(x)为f(x)的导函数，则f(3)＋f′(3)＝________.解析：(3，f(3))在切线y＝x＋2上，∴f(3)＝5，又f′(3)＝1，∴f(3)＋f′(3)＝6.答案：68．(2014·江西卷)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：设P(x0，y0)，∵y＝e－x，答案：(－ln2,2)9．若以曲线y＝x3＋bx2＋4x＋c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是________．解析：y′＝x2＋2bx＋4，∵y′≥0恒成立，5\n∴Δ＝4b2－16≤0，∴－2≤b≤2.答案：[－2,2]三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.∴a的取值范围是∪.11．已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解：f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，由已知得：，解得a＝e，x＝e2.∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.1．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为( )A．eB．－eC.D．－解析：y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则有k＝f′(x0)＝，∴5\n切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，则x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝＝，故选C.答案：C2．下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝( )A.B.C．－D．1解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)，则f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)的图象知导函数图象为③，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－a>0知a＝－2，代入可得函数f(x)＝x3＋(－2)x2＋1，∴f(1)＝－，故选C.答案：C3．若直线l与曲线C满足下列两个条件：(ⅰ)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinx④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tanx⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝lnx解析：对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正确；②中，y′＝2(x＋1)，x＝－1，y′＝0，x＝－1不是切线；③中，y′＝cosx，x＝0，y′＝1，切线方程为y＝x，又x<0时，x<sinx；x>0时，5\nx>sinx，符合；④中，y′＝′＝＝，x＝0，y′＝1，切线为y＝x.当x>0时，x>tanx；当x<0时，x<tanx，符合；⑤中，y′＝，x＝1，y′＝1，切线方程为y＝x－1.当x<1时，x－1>lnx；当x>1时，x－1>lnx，不满足(ⅱ)．综述，①③④正确．答案：①③④4．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．解：(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，所以f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)因为直线m恒过点(0,9)．设切点为(x0,3x＋6x0＋12)，因为g′(x0)＝6x0＋6.所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9，当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1，x＝2.经检验，当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝9是公切线，又由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1，经检验，x＝0或x＝1不是公切线，∴k＝0时y＝9是两曲线的公切线．5
