课时作业12 函数模型及其应用一、选择题1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )x45678910y15171921232527A.一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析：由表中数据知x，y满足关系y＝13＋2(x－3)．故为一次函数模型．答案：A2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A．不能确定B．①②同样省钱C．②省钱D．①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)因为210<211.6，故方法①省钱．答案：D3．一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么( )A．人可在7s内追上汽车B．人可在10s内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5mD．人追不上汽车，其间距最少为7m解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7.答案：D7\n4．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝－1，故选D.答案：D5．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是( )解析：根据动点的移动知，P点在AB上移动时，△APD的面积S是在增加，排除选项C，P点在BC上移动时，△APD的面积S是不变化的，排除选项A，因为CD>AB，点P是匀速前进，所以在CD上移动的时间比在AB上移动所用的时间多，所以排除选项D，选B.答案：B6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( )A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克7\n解析：由题意M′(t)＝M02ln2，M′(30)＝M02－1×ln2＝－10ln2，∴M0＝600，∴M(60)＝600×2－2＝150.故选D.答案：D二、填空题7．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.答案：1088．已知某驾驶员喝了m升酒后，血液中酒精的含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升．则此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时)解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则x≤0.02，∴x≥log330＝1＋log310>1＋log39＝3，故至少要4个小时后才能开车．答案：49．汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费)，设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x年的总维修费y满足y＝ax2＋bx，已知第一年的总维修费为1000元，前两年的总维修费为3000元，则这种汽车的最佳使用年限为________年．解析：由题意得，解得：a＝500，b＝500，∴y＝500x2＋500x.设年均消耗费用为S，则S＝＋6000＝＋500x＋500＋6000≥2×5000＋500＋6000＝16500(元)，当且仅当＝500x，即x＝10时取“＝”．答案：10三、解答题7\n10．某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k，b的值．(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解：(1)由已知，⇒解得b＝5，k＝1.(2)当p＝q时，2(1－t)(x－5)2＝2－x，所以(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋＝1＋.而f(x)＝x＋在(0,4]上单调递减，所以当x＝4时，f(x)有最小值，故当x＝4时，关税税率的最大值为500%.11．某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－＝－x2＋400x－80000＝－(x－400)2，∴当x∈[200,300]时，S<0，因此该项目不会获利．7\n当x＝300时，S取得最大值－5000，当x＝200时，S取得最小值－20000.∴国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]．(2)由题意可知，二氧化碳的每吨处理成本为＝①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5040＝(x－120)2＋240，∴当x＝120时，取得最小值240；②当x∈[144,500)时，＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．1．如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是( )7\n解析：f(t)增长的速度先快后慢，故选C.答案：C2．(2014·陕西卷)如上图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A．y＝x3－xB．y＝x3－xC．y＝x3－xD．y＝－x3＋x解析：根据函数图象的特点，过点(0,0)，关于原点对称，故可设函数y＝ax3＋cx，又函数在(－5,2)处的切线平行于x轴，∴y′＝3ax2＋c，即3a×25＋c＝0，∴c＝－75a，观察选项中的系数关系，可知选A.答案：A3．某商场2014年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________.解析：因为①②中函数要么单调递增，要么单调递减，不满足题意，③为二次函数且开口向上，即f(x)先减后增，满足题意，所以选③.由f(1)＝10，f(3)＝2，得1＋p＋q＝10,9＋3p＋q＝2，解得p＝－8，q＝17.所以f(x)＝x2－8x＋17.答案：③ x2－8x＋177\n4．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了过去12个月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(吨)34567频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310据此估计该地“节约用水家庭”的比例．解：(1)y关于x的函数关系式为y＝(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.7
