课时作业(七十) 高考解答题专题突破(六)概率与统计的综合问题1．(2015·潍坊模拟)某单位有车牌尾号分别为0,5,6的汽车各一辆，分别记为A，B，C.已知在非限行日，根据工作需要每辆车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车的概率依次为，，，且A，B，C三车出车相互独立；在限行日，不能出车．该地区汽车限行规定如下：车牌尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五(1)求该单位在星期四恰好出车两台的概率；(2)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望．解：(1)设A车在星期i出车的事件为Ai，B车在星期i出车的事件为Bi，C车在星期i出车的事件为Ci.设该单位在星期四恰好出车两台的事件为D，所以P(D)＝P(A4B44)＋P(A44C4)＋P(4B4C4)＝××＋××＋××＝.(2)X的可能取值是0,1,2,3，P(X＝0)＝P(1)·P(22)＝××＝；P(X＝1)＝P(C1)P(22)＋P(1)P(A22)＋P(1)P(2B2)＝××＋××＋××＝；P(X＝2)＝P(1)P(A2B2)＋P(C1)P(A22)＋P(C1)P(2B2)＝××＋××＋××＝＝；P(X＝3)＝P(C1)P(A2B2)＝××＝＝.所以X的分布列为X0123P则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.6\n2．(2015·临沂一模)某工厂生产A，B两种元件，已知生产A元件的正品率为75%，生产B元件的正品率为80%，生产1个元件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个元件B，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元．(1)求生产5个元件A所得利润不少于140元的概率；(2)设X为生产1个元件A和1个元件B所得总利润，求X的分布列和数学期望．解：(1)解法一：由题意知，生产5个元件A，若全为正品则所得利润为250元；若4个为正品，1个为次品，所得利润为4×50－10＝190元；若3个为正品，2个为次品，所得利润为3×50－2×10＝130元．由此可知生产5个元件A，若5个全为正品或4个为正品时，所得利润不少于140元．记“生产5个元件A所得利润不少于140元”为事件A，则P(A)＝C×4×＋5＝.解法二：设生产的5个元件A中有正品n个，由题意得50n－10(5－n)≥140，解得n≥，所以n＝4或n＝5.设“生产5个元件A所得利润不少于140元”为事件A，则P(A)＝C×4×＋5＝.(2)随机变量X的所有可能取值为90,45,30，－15.且P(X＝90)＝×＝；P(X＝45)＝×＝；P(X＝30)＝×＝；P(X＝－15)＝×＝，则随机变量X的分布列为X904530－15P则E(X)＝90×＋45×＋30×＋(－15)×＝66.6\n3．(2015·淄博模拟)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先．(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)设甲队获胜为事件A，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．设甲队以4∶2获胜为事件A1，则P(A1)＝4＝；设甲队以4∶3获胜为事件A2，则P(A2)＝C××3×＝，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7.P(X＝4)＝2＝；P(X＝5)＝C×××＝；P(X＝6)＝C××2×＋4＝；P(X＝7)＝C××3＝.则X的分布列为X4567PE(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝.4．(2015·济宁二模)袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．(1)若有放回地取3次，每次取一个球，求取出1个红球2个黑球的概率；(2)若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分ξ的分布列和数学期望．6\n解：(1)从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件A＝“取出1个红球，2个黑球”，则P(A)＝C·2＝3××＝.(2)得分ξ的取值有四个：3,4,5,6，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.ξ的分布列为ξ3456P所以E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝.5．(2015·德州模拟)某公司招聘工作人员，有甲、乙两组题目，现有A，B，C，D四人参加招聘，其中A，B两人独自参加甲组测试，C，D两人独自参加乙组测试；已知A，B两人各通过的概率均为，C，D两人各自通过的概率均为.(1)求参加甲组测试通过的人数多于参加乙组测试通过人数的概率；(2)记甲、乙两组测试通过的总人数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设甲组测试通过的人数多于乙组测试通过的人数为事件A，P(A)＝××2×2＋2×＝.(2)X可取0,1,2,3,4.P(X＝0)＝2×2＝＝；P(X＝1)＝2×××2＋2×2××＝＝；P(X＝2)＝2×2＋2×2＋4××××＝＝；P(X＝3)＝2×××2＋××2×2＝＝；6\nP(X＝4)＝2×2＝＝.则X的分布列为X01234P期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝.6．(2015·山师大附中模拟)某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A，B，C，D，E五个等级，某考场考生的两科测试的成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B的考生有10人．(1)求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数；(2)已知等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．①求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分；②求该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和的分布列和数学期望．解：(1)因为“语言表达能力”科目中成绩为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.250＝40(人)，所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.150－0.025)＝40×0.075＝3.(2)①由题意可得“语言表达能力”科目中成绩等级为D的频率为1－0.375－0.250－0.200－0.075＝0.100，该考场考生“语言表达能力”科目的平均分为×[1×(40×0.200)＋2×(40×0.100)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.250)＋5×(40×0.075)]＝2.9.②设2人成绩之和为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为16,17,18,19,20.P(ξ＝16)＝＝⒑6\nP(ξ＝17)＝＝⒑P(ξ＝18)＝＋＝⒑P(ξ＝19)＝＝，P(ξ＝20)＝＝⒑所以随机变量ξ的分布列为ξ1617181920P所以E(ξ)＝16×＋17×＋18×＋19×＋20×＝.6
