课时作业(四十)空间几何体的结构特征及其三视图和直观图一、选择题1．(2014·福建)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案：A解析：圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱．2．(2015·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为( )答案：C解析：长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图为C.3．(2014·江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案：B解析：该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.4．(2015·宁波模拟)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，7\n∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为( )A.＋B．2＋C．＋D．＋答案：B解析：如图，将直观图ABCD还原后为直角梯形A′BCD′，其中A′B＝2AB＝2，BC＝1＋，A′D′＝AD＝1.所以S＝××2＝2＋.故应选B.5．(2014·新课标全国Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案：B解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个长方形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.6．(2015·云南统考)如图，三棱锥V－ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为( )7\nA.B．C．D．答案：B解析：设三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧面VAC边AC上的高为h，则ah＝，其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形，其面积为××＝.故应选B.7．(2015·江西八校联考)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．2B．3C．D．4答案：A解析：当正视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时S侧＝2.8．(2015·烟台模拟)若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A．1B．2C．3D．4答案：D7\n解析：根据三视图易判断该几何体为如图所示的三棱锥，其中SA⊥AB，SA⊥AC，且底面△ABC是直角三角形，BC⊥AB，易推得SA⊥底面ABC，从而SA⊥BC，因此BC⊥平面SAB，BC⊥SB.综上，四个面全是直角三角形，故应选D.9．(2015·西安模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )答案：C解析：若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体的体积为，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体的体积为，满足题意；若该几何体的俯视图是选项D，则该几何体的体积为，不满足题意．故应选C.10．(2015·银川模拟)如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不可能正确的是( )A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台答案：D解析：根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体Ω不可能是棱台．7\n二、填空题11．如图是水平放置的△ABC(AD为BC边上的中线)的直观图，试按此图判定原△ABC中的四条线段AB，BC，AC，AD中最长的线段是________，最短的线段是________．答案：AC BC解析：依据规则可以判定，原△ABC为直角三角形，其中AC为斜边，故AC最长．由图可以看到A′B′>B′D′，∴AB>BC，∴最短的线段为BC.12．已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案：①③④⑤解析：由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则一定是矩形，故②不正确．13．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________．(写出所有可能的序号)7\n答案：①②③解析：空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的投影是①；在面BCC′B′上的投影是②；在面ABCD上的投影是③.故填①②③.14．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正视图(又称正视图)是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图(又称侧视图)的面积为________．答案：8解析：由正视图知，正三棱柱底面边长为4，侧棱长为4，则正三棱柱的侧视图是高为4，底边长为2的矩形，从而侧视图的面积为S侧＝4×2＝8.15．(2014·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．答案：2解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P－ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝，所以最长的棱为PC，PC＝＝2.三、解答题16．如图所示为一个几何体的直观图和三视图(其中正视图为直角梯形，侧视图为直角三角形，俯视图为正方形)．7\n 求四棱锥P－ABCD的体积．解：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，AB＝4，∴VP－ABCD＝PA·S四边形ABCD＝×4×4×4＝.7
