课时作业(四十一) 空间几何体的面积与体积一、选择题1．(2015·济南针对性训练)一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )A．96B．136C．152D．192答案：C解析：依题意，题中的几何体是一个直三棱柱，其底面三角形的三边长分别是5,5,6，三棱柱的高是8，该几何体的表面积等于2×＋(5＋5＋6)×8＝152，故应选C.2．(2015·临沂一模)一个直棱柱被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为( )A．9B．108\nC．11D．答案：C解析：由三视图知该几何体是把一个长方体截去一个小三棱锥，其体积计算采取割补思想(即所求几何体体积等于长方体体积减去小三棱锥体积)．依题知，长方体体积为2×2×3＝12，小三棱锥体积为××2×1×3＝1，所以所求几何体的体积为12－1＝11，故应选C.3．(2015·济宁模拟)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．16B．32C．48D．144答案：C解析：由三视图知几何体为一个倒放的四棱锥，棱锥的底面是上、下底分别为2,6，高为6的一个直角梯形，棱锥的高为6，则体积为V＝××(2＋6)×6×6＝48，故选C.4．(2015·日照模拟)过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的( )A.B．C．D．答案：B解析：由题意可得，截面圆半径为R(R为球的半径)，所以截面面积为π2＝πR2，又球的表面积为4πR2，则＝.故应选B.5．(2015·绵阳一诊)一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )8\nA．8＋B．8＋C．8＋D．8＋答案：A解析：依题意，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了个球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋××13＝8＋.故应选A.6．(2015·南昌一模)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是( )A.B．2πC．D．3π答案：C解析：由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为＝，AB＝3，过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S＝π×2＝.故应选C.7．(2014·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )8\nA．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2答案：D解析：由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S＝S1－S正方形＋S2＋2S3＋S斜面，其中S1是长方体的表面积，S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S3是三棱柱的一个底面的面积，则S＝(4×6＋3×6＋3×4)×2－3×3＋3×4＋2××4×3＋5×3＝138(cm2)，故应选D.8．(2015·信阳一模)如图，一个正三棱柱的侧视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于( )A．8πB．C．9πD．答案：B解析：如图，因为正三棱柱ABC－DEF的侧视图是边长为的正方形，所以正三棱柱的高为，底面正三角形的高也是.8\n设它的外接球的球心为O，半径为R，△ABC的中心为G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，即OG＝.又GA是正三角形ABC的高的，所以GA＝.在△OGA中，由勾股定理得R2＝OG2＋GA2，解得R2＝.所以外接球的表面积为4πR2＝，故应选B.9．(2015·郑州第二次质检)如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.B．3πC．D．2π答案：A解析：如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，所以AE＝，EO＝，所以OA＝.在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.8\n所以该球的体积V＝π3＝.故应选A.10.(2014·全国大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.B．16πC．9πD．答案：A解析：如图，正四棱锥P－ABCD的底面中心为H.在底面正方形ABCD中，AH＝AB＝，又PH＝4，故在Rt△PAH中，PA＝＝＝3.则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心O在PH所在的直线上，设其外接球的直径为PQ＝2r.又A在正四棱锥外接球的表面上，所以AP⊥AQ.又AH⊥PH，由射影定理可得PA2＝PH×PQ，故2r＝PQ＝＝＝，所以r＝.故该球的表面积为S＝4πr2＝4π2＝，故应选A.二、填空题11．(2015·杭州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.答案：24解析：此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得，故其体积V＝8\n×3×4×5－××3×4×3＝24.12．(2014·山东)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．答案：12解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则×6××22×h＝2，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为＝2，故该六棱锥的侧面积为×12×2＝12.13．(2015·绍兴模拟)已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为________．答案：解析：由题意知BD为实长，即正四面体的边长为2，所以S＝×(2)2＝2，h＝＝，故V＝Sh＝×2×＝.14．已知三棱锥A－BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________．答案：3π解析：如图，构造正方体ANDM－FBEC.因为三棱锥A－BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM－FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥A－BCD的外接球就是正方体ANDM－FBEC8\n的外接球，所以三棱锥A－BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积为S球＝4π2＝3π.15．(2014·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.答案：解析：该几何体是一个组合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱．因为V圆锥＝π×22×2＝(m3)，V圆柱＝π×12×4＝4π(m3)，所以该几何体体积V＝＋4π＝(m3)．8
