课时作业(三十八) 基本不等式一、选择题1．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为( )A．8B．4C．2D．0答案：A解析：因为2≥2xy，x＋2y＝xy≤，又x，y都是正数，解得x＋2y≥8.2．(2015·杭州七校模拟)已知实数x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是( )A．2B．4C．2＋D．4＋2答案：D解析：由已知，得lg2x·8y＝lg2，所以2x·8y＝2，即2x·23y＝2，即x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，故应选D.3．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝2x图象上两个不同的点，若x1＋2x2＝4，则y1＋y的最小值为( )A．2B．4C．2D．8答案：D解析：y1＋y＝2x1＋22x2≥2＝2＝8(当且仅当x1＝2x2＝2时等号成立)．故应选D.4．若x，y是正数，则2＋2的最小值是( )A．3B．6\nC．4D．答案：C解析：由题意，得2＋2≥2＝2≥2＝4，当且仅当即x＝y＝时，“＝”成立．故应选C.5．(2014·山东)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )A．5B．4C．D．2答案：B解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2.解法一：将2a＋b＝2，两端平方，得4a2＋b2＋4ab＝20，又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2，当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时等号成立．所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2)，所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值为4.解法二：把2a＋b＝2，看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2距离的平方，即2＝4.解法三：由2a＋b＝2，可得b＝2－2a，所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20＝52＋4，即当a＝，b＝时，a2＋b2有最小值4.6．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝6\n若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2答案：C解析：根据题意知：a∧b表示a，b中较小的，a∨b表示a，b中较大的．因为2≥ab≥4，所以a＋b≥4.又因为a，b为正数，所以a，b中至少有一个大于或等于2，所以a∨b≥2.因为c＋d≤4，c，d为正数，所以c，d中至少有一个小于或等于2，所以c∧d≤2.故选C.二、填空题7．(2014·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案：160解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以该容器的最低总造价为160元．8．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．答案：1 3解析：1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍去)，6\n∴k＝1.f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号．9．设0＜x＜1，a，b为正常数，则＋的最小值为________．答案：(a＋b)2解析：＋＝[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2，当且仅当＝，即x＝时取等号．10．已知函数y＝a2x－4＋1(a>0且a≠1)的图象过定点A，且点A在直线＋＝1(m，n>0)上，则m＋n的最小值为________．答案：8解析：由已知，函数y＝a2x－4＋1的图象过定点A(2,2)，且点A在直线＋＝1上，所以＋＝1，所以m＋n＝(m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即m＝n＝4时取等号，所以m＋n的最小值为8.三、解答题11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：已知x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，6\n∴≥8，∴xy≥64，当且仅当2x＝8y且2x＋8y－xy＝0，即y＝4，x＝16时等号成立．故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋8＝18，当且仅当＝且2x＋8y－xy＝0，即y＝6，x＝12时等号成立．故x＋y的最小值为18.12．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.证明：(1)＋＋＝2，∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋＋≥8，当且仅当a＝b＝时等号成立．(2)证法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，∴＝＝5＋2≥5＋4＝9.∴≥9，6\n当且仅当a＝b＝时等号成立．证法二：＝1＋＋＋，由(1)，知＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9.13．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张，则共需分批，每批价值为20x元．由题意，知f(x)＝·4＋k·20x.当x＝4时，f(4)＝52，得k＝＝.∴f(x)＝＋4x(0＜x≤36，x∈N*)．(2)由(1)，知f(x)＝＋4x(0＜x≤36，x∈N*)，∴f(x)≥2＝48(元)，当且仅当＝4x，即x＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．6
