课时作业(十五) 导数在研究函数中的应用(二)一、选择题1．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为( )A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案：A解析：y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1，∴y极大值＝2，y极小值＝－2，∴－2＜m＜2.故应选A.2．(2015·北京模拟)f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A．(－4,0)∪(4，＋∞)B．(－4,0)∪(0,4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(0,4)答案：D解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝[xf(x)]′＝x′f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)＋f(x)<0，∴函数g(x)在区间(－∞，0)上是减函数．∵f(x)是定义在R上的偶函数．∴g(x)＝xf(x)是R上的奇函数，∴函数g(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∵f(－4)＝0，∴f(4)＝0，即g(4)＝0，g(－4)＝0，∴xf(x)>0化为g(x)>0，设x>0，故不等式为g(x)>g(4)，即0<x<4；设x<0，故不等式为g(x)>g(－4)，即x<－4，故所求的解集为(－∞，－4)∪(0,4)，故应选D.3．(2015·大连模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)6\nC．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)答案：B解析：由已知，[f(x)－(2x＋4)]′＝f′(x)－2＞0，∴g(x)＝f(x)－(2x＋4)单调递增，又g(－1)＝0，∴f(x)＞2x＋4的解集是(－1，＋∞)．故应选B.4．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为( )答案：A解析：由导数的定义知，S′(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率，如图，正五角星薄片中首先露出水面的是区域I，此时其面积S(t)在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S′(t)也应逐渐增大；当露出的是区域Ⅱ时，此时的S(t)应突然增大，然后增长速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S′(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S′(t)＞0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S′(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.故应选A.5．设1＜x＜2，则，2，的大小关系是( )A.2＜＜B.＜2＜C.2＜＜D.＜2＜答案：A解析：令f(x)＝x－lnx(1＜x＜2)，则f′(x)＝1－＝＞0，所以函数y＝f(x)(1＜x＜2)为增函数，6\n∴f(x)＞f(1)＝1＞0，∴x＞lnx＞0，则0＜＜1，∴2＜.又－＝＝＞0，∴2＜＜，故应选A.6．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为( )A．2B．4C．5D．8答案：B解析：∵f′(x)＞0，当＜x＜π时，f′(x)＞0，∴f(x)在上是增函数；当0＜x＜时，f′(x)＜0，∴f(x)在上是减函数．设π≤x≤2π，则0≤2π－x≤π.由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知，f(2π－x)＝f(x)．故π≤x≤2π时，0＜f(x)＜1.依题意作出草图(图略)可知，y1＝f(x)与y2＝sinx在[－2π，2π]上有四个交点．故应选B.二、填空题7．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为________．6\n答案：f(－3)＜f(2)＜f解析：由f(－x)＝f(x)知函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)．又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，∴f(x)在区间上是减函数，∴f＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．8．(2015·北京海淀区模拟)若函数f(x)满足：“对于区间(1,2)上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|恒成立”，则称f(x)为完美函数．给出以下四个函数：①f(x)＝；②f(x)＝|x|；③f(x)＝x；④f(x)＝x2.其中是完美函数的序号是________．答案：①③解析：由|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|知，＜1，即|f′(x)|＜1.经验证①③符合题意．9．(2015·山西四校联考)log0.5>log0.5对任意x∈[2,4]恒成立，则m的取值范围为________．答案：(45，＋∞)解析：以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为<，所以m>－x3＋7x2＋x－7，令f(x)＝－x3＋7x2＋x－7，则f′(x)＝－3x2＋14x＋1，因为f′(2)>0且f′(4)>0，所以f′(x)>0在[2,4]上恒成立，即在[2,4]上函数f(x)为增函数，所以f(x)的最大值为f(4)＝45，因此m>45.三、解答题10．已知定义在区间[－2，t](t＞－2)上的函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex.(1)当t＞1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)设m＝f(－2)，n＝f(t)，试证明m＜n.解：(1)f′(x)＝(2x－3)ex＋ex(x2－3x＋3)＝exx(x－1)．由于t＞1，故当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；6\n当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，t)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．综上，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－2,0)，(1，t)；单调递减区间为(0,1)．(2)证明：m＝f(－2)＝13e－2，n＝f(t)＝(t2－3t＋3)et，设h(t)＝n－m＝(t2－3t＋3)et－13e－2，h′(t)＝(2t－3)et＋et(t2－3t＋3)＝ett(t－1))(t＞－2)．h(t)与h′(t)随t的变化情况如下表：t(－2,0)0(0,1)1(1，＋∞)h′(t)＋0－0＋h(t)极大值极小值由上表可知，h(t)的极小值为h(1)＝e－＝＞0，又h(－2)＝0，所以当t＞－2时，h(t)＞h(－2)＝0，即h(t)＞0，因此n－m＞0，即m＜n.11．(2015·成都模拟)成都市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k＞0)．现已知相距36km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．解：(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k＞0.从而点C处污染指数y＝＋(0＜x＜36)．(2)∵a＝1，∴y＝＋，y′＝k，令y′＝0，得x＝，当x∈时，函数单调递减；当x∈时，函数单调递增．∴当x＝时，函数取得最小值．6\n又此时x＝6，解得b＝25，经验证符合题意．12．(2015·大连模拟)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(2)由(1)知，f(x)在区间(－2，－1)内单凋递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0＜a＜.所以a的取值范围是.6
