课时作业(十三) 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．(2015·浙江温州联考)已知偶函数f(x)在R上任一取值都有导数，且f′(1)＝1，f(x＋2)＝f(x－2)，则曲线y＝f(x)在x＝－5处的切线的斜率为( )A．－1B．－2C．1D．2答案：A解析：由于f(x)是R上的偶函数，故其图象关于y轴对称，∴f′(－x)＝－f′(x)，又f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(x)是周期为4的周期函数，故f(x)在x＝－5处的导数就是在x＝－1处的导数，又f′(－1)＝－f′(1)＝－1，∴曲线y＝f(x)在x＝－5处的切线的斜率为－1，故应选A.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是( )A．0秒 B．1秒末C．2秒末 D．1秒末和2秒末答案：D解析：∵s＝t3－t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2.令v＝0，得t2－3t＋2＝0，解得t1＝1或t2＝2.故应选D.3．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)＋ex－1＋x2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )A．2x－y－1＝0B．x－y－3＝0C．3x－y－2＝0D．2x＋y－3＝0答案：B解析：令x＝1，解得f(1)＝－2.对等式两边求导，得f′(x)＝－2f′(2－x)＋ex－1＋2x，令x＝1，解得f′(1)＝1，所以切线方程为y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.故应选B.4．(2015·郑州模拟)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )A.B．5\nC．D．1答案：A解析：y′x＝0＝(－2e－2x)x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1,0)，，故围成的三角形的面积为×1×＝.故应选A.5．已知函数f(x)＝xn＋1(n∈N*)的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为( )A．－1B．1－log20132012C．－log20132012D．1答案：A解析：函数的导数为f′(x)＝(n＋1)xn，所以在x＝1处的切线斜率为k＝f′(1)＝n＋1，所以函数f(x)＝xn＋1在点P处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·x2012＝××…×＝，所以log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012＝log2013(x1·x2·…·x2012)＝log2013＝－1，故应选A.6．(2015·泰安模拟)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数．记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是( )A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex答案：D解析：由凸函数的定义可知，该题是判断f(x)的二阶导函数f″(x)的正负．对于A，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈上，恒有f″(x)＜0；对于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在x∈上，恒有f″(x)＜0；5\n对于C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在x∈上，恒有f″(x)＜0；对于D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝2ex＋xex，在x∈上，恒有f″(x)＞0.故应选D.二、填空题7．若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.答案：－1解析：y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1.8．(2015·成都模拟)已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是________．答案：y＝－2x解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2是偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2，∴f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴切线方程为y＝－2x.9．(2014·江西)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案：(e，e)解析：由题意，得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．10．(2015·烟台模拟)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．答案：2解析：由直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，可知＝1，即x＋a＝1，此时y＝ln(x＋a)＝ln1＝0，且x＋1＝0，x＝－1.∴－1＋a＝1，解得a＝2.三、解答题11．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；5\n(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求的直线方程为y＝－2.(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为＝，又＝3x－3，即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3×＝－，∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.12．(2015·深圳模拟)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意，得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.∴a的取值范围为∪.13．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.5\n(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3x＋6x0＋12)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入，得x0＝±1，当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.∴公切线是y＝9.又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，∴公切线不是y＝12x＋9.综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.5
