课时作业(七十三) 直接证明与间接证明一、选择题1．(2015·太原模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )A．不成立 B．成立C．不能断定 D．与n取值有关答案：B解析：因为Sn＝2n2－3n，所以n＝1时a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，n＝1时适合an，且an－an－1＝4，故{an}为等差数列，即命题成立．2．(2015·临沂模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为( )A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案：B解析：a，b，c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数．其否定有a，b，c均为奇数或a，b，c至少有两个偶数．3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是( )A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．a>c>b答案：A解析：∵a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，又∵＋＞＋＞＋＞0，∴a＞b＞c.故应选A.4．(2015·宁波模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是( )A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)＞04\nD．(a－b)(a－c)<0答案：C解析：＜a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.5．(2015·银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确判断的个数为( )A．0B．1C．2D．3答案：C解析：①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立．如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．6．(2015·福州模拟)设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a，b为常数，＋的最小值是( )A．4ab B．2(a2＋b2)C．(a＋b)2 D．(a－b)2答案：C解析：(x＋1－x)＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.当且仅当x＝时，等号成立．二、填空题7．设a＞b＞0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．答案：m＜n解析：取a＝2，b＝1，得m＜n.再用分析法证明：－＜⇐＜＋⇐a＜b＋2·＋a－b⇐2·＞0，显然成立．8．关于x的方程ax＋a－1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a4\n的取值范围________．答案：解析：①当a＝0时，方程无解．②当a≠0时，令f(x)＝ax＋a－1，则f(x)在区间(0,1)上是单调函数，依题意，得f(0)f(1)<0，∴(a－1)(2a－1)＜0，∴＜a＜1.9．凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．答案：解析：∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)，∴≤f＝f，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin≤，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.三、解答题10．已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.4\n(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面SBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.11．(2015·郑州模拟)已知数列{an}与{bn}满足bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，bn＝，n∈N*，且a1＝2，a2＝4.(1)求a3，a4，a5的值；(2)设cn＝a2n－1＋a2n＋1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列．解：(1)由bn＝，n∈N*，可得bn＝又bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，当n＝1时，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，可得a3＝－3；当n＝2时，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4＝－5；当n＝3时，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5＝4.(2)证明：对任意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0， ①2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0， ②a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0， ③②－③，得a2n＝a2n＋3， ④将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)，即cn＋1＝－cn(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故cn≠0，因此＝－1，所以{cn}是等比数列．4
