【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题07立体几何（理）（教师版）【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.7.空间平行与垂直关系的论证.8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离.【考点预测】在2013年高考中立体几何命题有如下特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现．36\n4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【要点梳理】1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:;锥体的体积公式:;台体的体积公式:;球的体积公式:.(2)球的表面积公式:.4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理.6．利用空间向量解决空间角与空间距离。【考点在线】考点一 三视图例1.(2012年高考陕西卷文科8)将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）【答案】B【解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形，其中36\n的正投影是正方形的对角线（实线），的正投影被遮住是虚线，所以B正确.【名师点睛】本题考查空间图像的直观图与三视图，考察空间想象能力与逻辑推理能力，注意培养.【备考提示】三视图是高考的热点之一,年年必考,所以必须熟练立体几何中的有关定理是解答好本题的关键.练习1:(2012年高考福建卷理科4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱考点二 表面积与体积例2..(2012年高考北京卷理科7)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+36\n所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，，，，因此该几何体表面积，故选B。【名师点睛】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【备考提示】：表面积与体积的求解也是高考的热点之一，年年必考，大多以三视图为载体，在选择与填空题中考查，难度不大，也可能在解答题的一个问号上.练习2：(2012年高考天津卷理科10)―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为.考点三 球的组合体例3.(2012年高考新课标全国卷理科11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）36\n【名师点睛】本小题考查三棱锥的外接球体积的求解,关键是找出球的半径.【备考提示】：球的组合体,在高考中,经常考查球与长方体、正方体、三棱锥、四棱锥、圆锥、圆柱等的组合，熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键.练习3：(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______.36\n。考点四 空间中平行与垂直关系的证明例4.（2012年高考江苏卷16）（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面ADE．【名师点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．【备考提示】熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键.练习4.(2012年高考福建卷理科18)（本小题满分13分）36\n如图，在长方体中，，为中点。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长.得：.36\n考点五 空间角与距离的求解例5.(2012年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。36\n二面角F-BD-C的余弦值为.【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力.【备考提示】空间角与距离是高考的一个热点，年年必考，熟练三种角及距离的求法，是解答本类题目的关键.练习5.(2012年高考四川卷理科14)如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。【考题回放】1.(2012年高考安徽卷理科6)设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件即不充分不必要条件【答案】【解析】①②如果；则与条件相同.36\n2.(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）3．(2012年高考广东卷理科6)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）A．12πB.45πC.57πD.81π4．(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线36\nBD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直高为2的圆柱与一圆锥组合而成,所以其体积为,故选B.6.（2012年高考新课标全国卷理科7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）【答案】B【解析】选由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为36\n，所以几何体的体积为,选B.7.(2012年高考湖南卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）36\n另：排除.9．(2012年高考江西卷理科10)如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为36\n36\n【考点定位】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可.12.(2012年高考重庆卷理科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）36\nBD，故AC⊥平面ABD,因为SB平面ABD,所以AC⊥SB，正确.对于B：因为AB//CD,所以AB//平面SCD.对于C:设.因为AC⊥平面ABD，所以SA和SC在平面SBD内的射影为SO，则∠ASO和∠CSO就是SA与平面SBD所成的角和SC与平面SBD所成的角，二者相等，正确.故选D.14．(2012年高考浙江卷理科11)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．【答案】1【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．15.(2012年高考山东卷理科14)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。【答案】【解析】.16．(2012年高考上海卷理科14)如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是.【答案】【解析】据题，也就是说，线段36\n的长度是定值，因为棱与棱互相垂直，当时，此时有最大值，此时最大值为：.17.(2012年高考全国卷理科16)三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.18.(2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。【答案】【解析】如图，连接矩形对角线的交点和球心,则，,四棱锥的高为36\n,所以，体积为19．(2012年高考广东卷理科18)（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；20．(2012年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.(I)求证：A1C⊥平面BCDE；36\n(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由（3）设线段上存在点，设点坐标为，则36\n【高考冲策演练】一、选择题：1．（山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测理）设b，c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题正确的是（）A.若B.若C.若D.若【答案】D【解析】A中，与也有可能异面；B中也有可能；C中不一定垂直平面；D中根据面面垂直的判定定理可知正确，选D.2．（北京市东城区普通校2013届高三12月联考理）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B正确。36\n3.(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.4．（云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理）设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：①若∥，且则；②若∥，且∥.则∥；③若，则∥m∥n；④若且n∥,则∥m.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①正确；②中当直线时，不成立；③中，还有可能相交一点，不成立；④正确，所以正确的有2个，选B.5.(云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三理科)一个几何体的三视图如图l所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为()36\nA．1B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B.图16.(北京市昌平区2013年1月高三上学期期末理7)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为()A.B．C.D.【答案】B【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且36\n,，,,,,底面梯形的面积为，,,,侧面三角形中的高，所以，所以该几何体的总面积为，选B.7．(北京市丰台区2013年1月高三上学期期末理4)如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()(A)(B)(C)1(D)28.(2011年高考浙江卷理科4)下列命题中错误的是()（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面36\n（C）如果平面，平面，，那么（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D【解析】两个平面垂直，两个平面上的所有直线都不是垂直了，比如α平面垂直β平面，垂线为AB，直线CD属于α，与AB交与E点，角度为60°，不垂直平面，故选D.9.(2011年高考安徽卷理科6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为()（A）48(B)32+8(C)48+8(D)8010.(2011年高考辽宁卷理科12)已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S-ABC的体积为（）（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】取SC的中点D,则D为球心，则AD=BD=DS=2,∠ASC=∠BSC=∠SBD=∠BAD=30°,△ASC≌△BSC，.过A做AE⊥SC与E,连接BE,则BE⊥SC.在△BDE中，DE=BD36\n,BE=BD，故棱锥S-ABC的体积等于棱锥S-ABE和棱锥C-ABE的体积和，即.11．(2011年高考北京卷理科7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．C．10D．【答案】C12.(2011年高考重庆卷理科9)高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）36\n（A）（B）（C）1（D）【答案】C【解析】设底面中心为G，球心为O，则易得，于是，用一个与ABCD所在平面距离等于的平面去截球，S便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则，故，故二．填空题：13．(2012年高考上海卷理科8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.14.(2012年高考辽宁卷理科13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。36\nDABC15．（2012年高考江苏卷7）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为cm3.【答案】【解析】如图所示，连结交于点，因为平面，又因为，所以，，所以四棱锥的高为，根据题意，所以，又因为，，故矩形的面积为，从而四棱锥的体积.36\n16.(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______.三．解答题：17．(2012年高考浙江卷理科20)(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。(Ⅰ)如图连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；36\n18.(北京市丰台区2013年1月高三上学期期末理17)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;（Ⅱ）求证：ABPE；（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.【解析】（Ⅰ）D、E分别为AB、AC中点，_E_D_B_C_A_P\DE//BC．36\n36\n由图知，，所以即二面角的大小为．..........................................14分19.(2012年高考上海卷理科19)如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小.【解析】（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.……3分因为PD=，CD=2，ABCDPExyz所以三角形PCD的面积为.……6分（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(1,,1)，，.……8分设与的夹角为q，则，q=.ABCDPEF由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是……12分[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角……8分在中，由EF=、AF=、AE=2知是等腰直角三角形，所以∠AEF=.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是.……12分36\n20.(2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面与平面BB1C1C夹角的余弦值。36\n由，得，令，得，即所以即平面平面与平面BB1C1C夹角的余弦值是。21．(2012年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，Ｅ是ＣＤ的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.（Ⅱ）过点Ｂ作36\n由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE36\n22．(2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）如图，在直三棱柱中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面的距离;（Ⅱ）若,求二面角的平面角的余弦值。36\n36
