【专项冲击波】高考数学 讲练测系列 专题09 概率统计（文）（教师版）

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题09概率统计（文）（教师版）【考纲解读】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式．3.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义．5.理解随机抽样的必要性和重要性;会及简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法.6.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.7.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差;能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差).8.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样体估计总体的思想.9.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题.10.会作两个有关联变量数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系;了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.11．了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用;了解回归的基本思想、方法及其简单应用．【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各1道，难度中等,主要考查古典概型、几何概型、分层抽样、频率分布直方图、茎叶图的求解.2.预计在2013年高考中，概率统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题.【要点梳理】1.随机事件的概率：（1）随机事件；（2）频率；（3）概率；（4）互斥事件的概率加法公式：,若A与B为对立事件,则.2.古典概型:求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件A包含的基本事件个数;代入公式,求出.3.几何概型:(1)理解几何概型与古典概型的区别;(2)几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积之比与长度之比.4.三种抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，正确区分这三种抽样.19\n5.用样本估计总体:(1)在频率分布直方图中,各小矩形的面积表示相应的频率;各个小矩形的面积之和为1;(2)理解众数、中位数及平均数；（3）会求一组数据的平均数、方差、标准差.6.变量间的相关关系,会求回归直线方程.【考点在线】考点一古典概型例1.（2012年高考江苏卷6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【名师点睛】本题考查古典概型的概率问题，求解此类问题要求能够准确的确定基本事件空间的基本事件个数，和所求事件所含的基本事件个数.本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.【备考提示】古典概型是高考考查的重点内容之一,必须熟练掌握.练习1:（2011年高考海南卷文科6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为,选A.考点二　几何概型例2.(2012年高考湖北卷文科10)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.B..C.D.【答案】C19\n点内容，是高考的热点内容，年年必考.【备考提示】熟练掌握几何概型的定义及求法是解决本类题目的关键.练习2:(2012年高考北京卷文科3)设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D.考点三　统计例3.(2012年高考湖北卷文科2)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为()A0.35B0.45C0.55D0.65【答案】B【解析】因为样本数据落在区间[10,40]的频数分别为2,3,4,容量为20,所以样本数据落在区间[10,40]的频率分别为0.1,0.15,0.2,所以所求频率为0.1+0.15+0.2=0.45,故选B.19\n【名师点睛】本小题考查频率分布表,属统计内容.统计是高考的重点,年年必考,主要考查抽样方法、数字特征、线性回归等内容，熟练频率=等公式是解决好本类问题的关键.【备考提示】对统计知识,由于是高考的重点内容之一，特别是新课标新增内容,它们是与大学知识的衔接，所以必须熟练.练习3：（2012年高考新课标全国卷文科3）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）（A）－1（B）0（C）（D）1【答案】D【解析】根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1，选D.【考题回放】1.(山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文科)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】设从高二应抽取人，则有，解得，选C.2.（2012年高考辽宁卷文科11）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）(A)(B)(C)(D)3.（2012年高考安徽卷文科10）19\n袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】法一：（组选法）总的取法有,要求一白一黑的取法有，故所求概率为,选B。法二：（列举法）不妨记1个红球，2个白球和3个黑球记为，则从袋中任4.(2012年高考陕西卷文科3)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56.所以选A.5.(2012年高考江西卷文科6)小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为19\nA.30％B.10％C.3％D.不能确定【答案】C6.(2012年高考浙江卷文科12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是.【答案】【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为.7.(2012年高考浙江卷文科11)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.【答案】160【解析】总体中男生与女生的比例为，样本中男生人数为.8.(2012年高考重庆卷文科15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）。【答案】9.(2012年高考广东卷文科13)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。（从小到大排列）【答案】.【解析】由题意知：不妨设，，依题意得，19\n，即，所以则只能，，则这组数据为.10.(2012年高考湖南卷文科13)图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.(注：方差，其中为x1，x2，…，xn的平均数)【答案】6.8【解析】，.11.(2012年高考湖南卷文科11)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.12.(2012年高考湖北卷文科11)一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人。13.(2012年高考福建卷文科14)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。【解析】19\n【答案】1214.（2011年高考山东卷文科13)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为.【答案】16【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40=16.15.(2011年高考江苏卷6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差.【答案】3.2【解析】考查方差的计算,可以先把这组数都减去6,再求方差,.16.(2012年高考广东卷文科17)（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：，，，，.19\n（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.分数段【解析】(1)由频率分布直方图中各个矩形的面积之和等于1可得:;(2)这100名学生语文成绩的平均分为=75.(3)因为语文成绩在这些分数段的人数人别为5,40,30,20,5,所以数学成绩在前四段分数段的人数人别为5,20,40,25,所以数学成绩在[50，90）之外的人数为10人.17.(2012年高考天津卷文科15)（本小题满分13分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。19\n【高考冲策演练】一、选择题：1.(2012年高考四川卷文科3)交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（）A、101B、808C、1212D、2012【答案】B【解析】N=2.(2012年高考山东卷文科4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）(A)众数　　　(B)平均数　　　(C)中位数　　　(D)标准差【答案】D【解析】设A样本的数据为变量为，B样本的数据为变量为，则满足，根据方差公式可得，所以方差相同，标准差也相同，选D.3.(云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三文)记集合和集合表示的平面区域分别为若在区域内任取一点19\n，则点落在区域的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】区域为圆心在原点，半径为4的圆，区域为等腰直角三角形，两腰长为4，所以，故选A．4．(2012年高考北京卷文科8)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（）5.(北京市海淀区2013年1月高三上学期期末文)在等边的边上任取一点，则的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，有，即，则有，要使，则点P在线段上，所以根据几何概型可知的概率是19\n，选C.6.(2011年高考安徽卷文科9)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）（A）(B)(C)(D)【答案】D【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为.故选D.7.（2011年高考浙江卷文科8)从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】无白球的概率是，至少有1个白球的概率为，故选D.8.（2011年高考四川卷文科2)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：24918111273根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（）（A）(B)(C)(D)【答案】B【解析】大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为.19\n9.（2011年高考陕西卷文科9)设···，是变量和的次方个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）(A)直线过点（B）和的相关系数为直线的斜率（C）和的相关系数在0到1之间（D）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同【答案】A【解析】：由得又，所以则直线过点，故选A.10.（2011年高考山东卷文科8)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A)63.6万元(B)65.5万元(C)67.7万元(D)72.0万元11．（2011年高考湖南卷文科5)通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由19\n附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选A.12.（2011年高考福建卷文科7)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A．B.C.D.【答案】C【解析】这是一几何概型,所求概率为,故选C.二．填空题：13.(2011年高考江苏卷5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______【答案】【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有可能的取法有6种,满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共2种取法,所以其中一个数是另一个的两倍的概率是.14.(2012年高考山东卷文科14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，19\n，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.15.（2012年高考江苏卷2）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．【答案】【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：人，答案.16.(2012年高考上海卷文科11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为.三．解答题：17．(2012年高考山东卷文科18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的19\n颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.18.(2012年高考陕西卷文科19)（本小题满分12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率19.(2012年高考湖南卷文科17)（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）30251011.522.5319\n结算时间（分钟/人）已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）20.(2012年高考四川卷文科17)(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。【解析】（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1-P（C）=1-P=，解得P=………………………………6分（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D,那么P(D)=19\n答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.………………12分.21.（2012年高考新课标全国卷文科18）（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.22．(2012年高考北京卷文科17)（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；19\n（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。（注：，其中为数据的平均数）【解析】（1）厨余垃圾投放正确的概率约为=（2）设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确。事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(),约为。所以P(A)约为1－0.7=0,3。（3）当，时，取得最大值.因为，所以．19