增分强化练(二十九)考点一 圆锥曲线的定义及标准方程1．(2019·榆林模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为( )A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得＝，∴p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x.故选B.答案：B2．(2019·株洲模拟)已知双曲线C：－＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则双曲线C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：由－＝0可得y＝±x，即渐近线的方程为y＝±x，又一条渐近线l的倾斜角为，所以＝tan＝.因为双曲线C的一个焦点(c,0)到l的距离为，所以＝b＝，所以a＝1，所以双曲线的方程为x2－＝1.故选D.答案：D3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为( )\nA.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1解析：依题意椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为得＝，椭圆C的长轴长与焦距之和为6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，则b＝，所以椭圆C的标准方程为：＋＝1，故选D.答案：D4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1的左右焦点，P是椭圆E上的点，则|PF1|·|PF2|的最小值是________．解析：由椭圆方程可知a＝5，c＝3，根据椭圆的定义，有|PF2|＝2a－|PF1|＝10－|PF1|，故|PF1|·|PF2|＝|PF1|·(10－|PF1|)，由于|PF1|∈[a－c，a＋c]＝[2,8]注意到二次函数y＝x(10－x)的对称轴为x＝5，故当x＝2，x＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16.答案：16考点二 圆锥曲线的性质1．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )A．长轴长为B．焦距为C．短轴长为D．离心率为解析：由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，长轴为2a＝1，焦距2c＝，短轴2b＝，离心率e＝＝.故选D.答案：D2．(2019·九江模拟)已知双曲线C：－＝1(a，b>0)的右顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1∶，则C的渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±x\n解析：由双曲线方程可得渐近线为：y＝±x，A(a,0)，F(c,0)，则点A到渐近线距离d1＝＝，点F到渐近线距离d2＝＝＝b，∴d1∶d2＝∶b＝a∶c＝1∶，即c＝a，则＝＝＝1，∴双曲线渐近线方程为y＝±x.故选A.答案：A3．已知双曲线C：x2－y2＝1，则点(4,0)到C的渐近线的距离为________．解析：双曲线C：x2－y2＝1(a＞b＞0)的渐近线方程y＝±x，点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.答案：24．(2019·株洲模拟)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．解析：如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|.由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝.作DE⊥x轴于E，则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝|DF2|sin∠BF2O＝×＝，|F2E|＝|DF2|cos∠DF2E＝|DF2|cos∠\nBF2O＝×＝，∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋＝，∴点D的坐标为.又点D在椭圆上，∴＋＝1，整理得3c2＝a2，所以e＝＝.答案：考点三 直线与圆锥曲线的相关问题1．(2019·内江模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为A、B，直线AF2与该椭圆交于A、M两点．若∠F1AF2＝120°，则直线BM的斜率为( )A.B.C.D.解析：由题意，椭圆＋＝1(a>b>0)，且满足∠F1AF2＝120°，如图所示，则在△AF2O中，|OA|＝b，|AF2|＝a，且∠OAF2＝60°，所以a＝2b，不妨设b＝1，则a＝2，所以c＝＝，则椭圆的方程为＋y2＝1，又由A(0,1)，F2(，0)，所以kAF2＝－，所以直线AF2的方程为y＝－x＋1，联立方程组，整理得7x2－8x＝0，解得x＝0或x＝，把x＝代入直线y＝－x＋1，解得y＝－，即M，\n又由点B(0，－1)，所以BM的斜率为kBM＝＝，故选B.答案：B2．已知直线l：y＝2x＋b被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为5，直线l经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为(3,0)，则MN的最小值为________．解析：(1)∵⇒4x2＋(4b－2p)x＋b2＝0,则52＝(1＋22)，又直线l经过C的焦点，则－＝，∴b＝－p，由此解得p＝2,抛物线方程为y2＝4x，M(x0，y0)，∴y＝4x0，则|MN|2＝(x0－3)2＋y＝(x0－3)2＋4x0＝(x0－1)2＋8,故当x0＝1时，|MN|min＝2.答案：23．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点P在椭圆上．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点G(0,1)作直线l与曲线交于A，B两点，求△ABO面积的最大值．解析：(1)由题意得，，解得a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)易知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴|x1－x2|＝＝d＝，∴S△ABO＝×d×|x1－x2|＝，令＝t，∵k2≥0，∴t≥1，∴S△ABO＝＝，\n易证y＝2t＋在[1，＋∞)上单调递增，∴2t＋≥3，∴S△ABO≤，∴△ABO面积的最大值为.
