课后限时集训(七十五) 参数方程建议用时：25分钟1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．[解] (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.2．(2020·西安五校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P(x，y)在圆C上，求x－y的取值范围．[解] (1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，∴消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y－2＝0，∵圆C的极坐标方程为ρ＝4cos，∴ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，\n∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.(2)∵点P(x，y)在圆C上，∴设P(1＋2cosθ，＋2sinθ)，∴x－y＝＋2cosθ－－2sinθ＝4sin，∴x－y的取值范围是[－4,4]．1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.[解] (1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由解得或从而C与l的交点坐标是(3,0)，.(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝.当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.2．在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，\n以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.(1)当α＝时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定·的取值范围．[解] (1)当α＝时，直线l的参数方程为⇒消去参数t得x－y＋1＋＝0.由曲线C的极坐标方程为ρ2＝，得ρ2＋2＝4，将x2＋y2＝ρ2，及y＝ρsinθ代入得x2＋2y2＝4，即＋＝1.(2)由直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，可知直线l是过点P(－1，1)且倾斜角为α的直线，又由(1)知曲线C为椭圆＋＝1，所以易知点P(－1，1)在椭圆C内，将代入＋＝1中，整理得t2＋2t－1＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1·t2＝－，所以·＝＝，因为0<α<π，所以sin2α∈，所以·＝＝∈，\n所以·的取值范围为.
