课后限时集训(五十五) 抛物线建议用时：40分钟一、选择题1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A．x2＝yB．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－yD．x2＝12y或x2＝－36yD [将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.]2．(2020·泰安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p＝( )A．1B．C．2D．2B [由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得1＝，∵p＞0，∴p＝，故选B．]3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OPB [如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B．]\n4．(2020·攀枝花模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则此抛物线方程为( )A．y2＝xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝2xC [过点A向x轴作垂线，垂足为E，因为|AF|＝3，直线AB的倾斜角为60°，所以|AE|＝|AF|sin60°＝，|EF|＝|AF|cos60°＝，又F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，所以F，因此E，故A，又点A在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以＝2p×，即4p2＋12p－27＝0，解得p＝或p＝－(舍)．故抛物线的方程为y2＝3x.故选C．]5．过抛物线y2＝4x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点(xA＞xB)，则＝( )A．B．C．3D．2D [设直线方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，所以(2x－1)(x－2)＝0，x1＝，x2＝2.因为xA＞xB，所以xA＝2，xB＝，\n所以＝＝＝2.]6．(2020·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－，则△MAF的面积为( )A．B．2C．4D．8C [如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝2.∵直线AF的斜率为－，∴∠AFN＝60°.∴∠MAF＝60°，|AF|＝4.由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形．∴S△AMF＝×42＝4.故选C．]二、填空题7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝.y2＝8x 6 [抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y＝±2，则M(1，±2)，则点N的坐标为(0，±4)，所以|FN|＝＝6.]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽米．\n2 [建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意可知抛物线过点(2，－2)，故4＝4p，∴p＝1，∴x2＝－2y.故当y＝－3时，x2＝6，即x＝.所以当水位降1米后，水面宽2米．]9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝. [法一：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2，所以直线AB的斜率为k＝＝2.则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝，所以xB＝，所以|BF|＝＋1＝.法二：由＋＝可知＝1－＝，∴|BF|＝.]三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；\n(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．[解] (1)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∵圆(x－2)2＋y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x.(2)依题意直线AB的方程为y＝2x－4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.|AB|＋|CD|＝|AD|－|CB|＝10－4＝6.11.如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．[解] (1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2.∴抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)，由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，∴B.又G(－1,0)，∴kGA＝，kGB＝－，∴kGA＋kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF.∴GF为∠AGB的平分线．1．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，\nN(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )A．3B．4C．5D．＋1A [由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.]2．(2020·济宁三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为( )A．B．C．D．B [由题意得抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝2，∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)，∴x1＝2x2＋1，∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y，∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝.∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝.故选B．]3．已知点A(m,4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．[解] (1)证明：∵点A(m,4)在抛物线上，∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kAB＋kAC＝＋＝＝0，∴x1＋x2＝－8.\n∴kBC＝＝＝＝－2，∴直线BC的斜率为定值－2.(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1.∴M(1，－2＋b)．又点M在抛物线内部，∴－2＋b＞，即b＞.由得x2＋8x－4b＝0，∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b.∴|BC|＝|x3－x4|＝·＝×.又b＞，∴|BC|＞10.∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．1．(2020·潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )A．＋B．9＋C．＋D．9＋D [∵MA∥x轴，∴A，\n由题意可知AB经过抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝－(x－1)．联立方程解得B(4，－4)，∴|AM|＝3－＝，|AB|＝＋4＋2＝，|MB|＝＝.∴△ABM的周长为9＋.故选D．]2．(2020·静安区二模)已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，且＋＋＝0，则称该三角形为“核心三角形”．(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知△ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2.[解] (1)抛物线Г：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由＋＋＝0，得1＝，0＝，故第三个顶点的坐标为3(1,0)－(0,0)－(1,2)＝(2，－2)，但点(2，－2)不满足抛物线的方程，即点(2，－2)不在抛物线上，所以这样的“核心三角形”不存在．(2)设直线AB的方程为y＝4x＋t，与y2＝4x联立，可得y2－y＋t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，y1＋y2＝1，x1＋x2＝(y1＋y2－2t)＝－t，由(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3)＝(3,0)，可得x3＝t＋，y3＝－1，代入方程y2＝4x，可得11＋2t＝1，解得t＝－5，所以直线AB的方程为4x－y－5＝0.(3)证明：设直线BC的方程为x＝ny＋m，与y2＝4x联立，可得y2－4ny－4m＝0，因为直线BC与抛物线相交，故判别式Δ＝16(n2＋m)＞0，y1＋y2＝4n，所以x1＋x2＝n(y1＋y2)＋2m＝4n2＋2m，可得点A的坐标为(－4n2－2m＋3，－4n)，又因为A在抛物线上，\n故16n2＝－16n2－8m＋12，可得m＝－4n2＋，因为m＞－n2，所以n2＜，故A的横坐标为－4n2－2m＋3＝－4n2＋8n2＝4n2＜2.
