课后限时集训(十六) 函数与方程建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·开封模拟)已知方程lgx＋＝0的根为x0，则下列说法正确的是( )A．x0∈(0,1)B．x0∈(1,10)C．x0∈(10,100)D．x0∈(100，＋∞)A [设f(x)＝lgx＋，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，易知函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又x→0时，f(x)＜0，f(1)＝lg1＋1＝1＞0，∴方程lgx＋＝0的根所在区间是(0,1)，故选A．]2．函数f(x)＝的零点个数为( )A．3B．2C．7D．0B [法一：(直接法)由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．]3．已知x0是f(x)＝＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则( )A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＞0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＜0，f(x2)＞0C [函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，且f(x0)＝0，则f(x1)＞0，f(x2)＜0，故选C．]4．已知函数f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，x3，则( )A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2\nC [作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－lnx的图象如图所示，可知选C．]5．已知函数f(x)＝则函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4C [由或解得x＝2或x＝4或x＝e－6.即函数f(x)在(－6，＋∞)上有3个零点，故选C．]6．已知λ∈R，函数f(x)＝若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是( )A．(1,3]B．(4，＋∞)C．(3,4]D．(1,3]∪(4，＋∞)D [f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图所示，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．故选D．]二、填空题7．设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是________．2 [令f(x)＝0得2|x|＝3－x2，在同一坐标系中，分别作出函数y＝2|x|和y＝3－x2的图象，如图所示：由图象知，函数f(x)有两个零点．]8．(2020·济南模拟)若函数f(x)＝lnx－＋a在区间(1，e)上存在零点，则常数a的取值范围是________．\n [∵函数f(x)在区间(1，e)上为增函数，∴解得－1＜a＜1.]9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________． [作出函数f(x)的图象如图所示．当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－＜m≤0，即实数m的取值范围是.]三、解答题10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．(1)求m的值；(2)求函数的零点．[解] (1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，所以m＝±2，当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．所以2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．所以这种情况不符合题意．综上可知：当m＝－2时，f(x)有唯一零点．(2)由(1)可知，该函数的零点为0.\n11．设函数f(x)＝(x＞0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f(x)＝＝故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且－1＝1－，所以＋＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根．1．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)等于( )A．1 B．2 C．3 D．4B [∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，故x0∈(2,3)，∴g(x0)＝[x0]＝2.故选B．]2．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于( )A．1B．－1C．eD．A [考虑到x1，x2是函数y＝ex，函数y＝lnx与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A．]3．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．\n[解] 因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知≤m＜，即－≤m＜－.1．已知f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)A [令t＝f(x)，则函数g(x)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0，得t＝2或t＝－a.f(x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实根，此时由图可知1＜－a＜2，即－2＜a＜－1，故选A．]2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．[解] 由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足解得＜a＜，故a的取值范围是(，)．
