课后限时集训(三十六) 数系的扩充与复数的引入建议用时：25分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C [∵z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，∴在复平面内，对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．]2．(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝( )A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－iB [∵复数z对应的点的坐标是(1,2)，∴z＝1＋2i，则i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i，故选B．]3．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )A．－2B．－1C．1D．2A [因为复数z＝＋1＝＋1＝－i，∵z为纯虚数，∴∴a＝－2.]4．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于( )A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－iD [由题意，得z＝＝＝－1－i，故选D．]5．(2020·驻马店模拟)已知z＝a＋i2021，且|z＋i|＝3，则实数a的值为( )A．0B．1C．±D．C [∵z＝a＋i2021＝a＋i，∴|z＋i|＝|a＋2i|＝＝3.∴a＝±，故选C．]6．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( )A．－7B．7C．－4D．4A [因为＝1＋＋＝－3－4i，\n所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故选A．]7．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝( )A．1＋iB．＋iC．1＋iD．1＋iB [因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B．]8．若(1－mi)(m＋i)＜0，其中i为虚数单位，则m的值为( )A．－1B．－2C．－3D．－4A [因为(1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i＜0，所以解得m＝－1，故选A．]二、填空题9．设复数z满足＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝.－i [复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i.]10．已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是，虚部是．3 1 [z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故实部是3，虚部是1.]11．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝.38 [由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0，即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，所以所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.]12．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝.－5 [z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.]1．设有下列四个命题：p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；\np3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4B [设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0，故z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0，故＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B．]2．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．则z＝，|z|＝.－1－2i或－2－i [设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋是实数，所以b－＝0.又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0.②由①②得解得或\n故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i，|z|＝.]
