课后限时集训(三十五) 数系的扩充与复数的引入建议用时：25分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C [∵z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，∴在复平面内，对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．]2．(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝( )A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－iB [∵复数z对应的点的坐标是(1,2)，∴z＝1＋2i，则i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i，故选B.]3．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )A．－2B．－1C．1D．2A [因为复数z＝＋1＝＋1＝－i，∵z为纯虚数，∴∴a＝－2.]4．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于( )A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－iD [由题意，得z＝＝＝－1－i，故选D.]5．(2020·驻马店模拟)已知z＝a＋i2021，且|z＋i|＝3，则实数a的值为( )A．0B．1C．±D．C [∵z＝a＋i2021＝a＋i，∴|z＋i|＝|a＋2i|＝＝3.∴a＝±，故选C.]6．(多选)设复数z＝(a＋i)(1－i)(a∈R)，则复数z在复平面内对应的点可能在( )A．第一象限B．第二象限\nC．第三象限D．第四象限ABD [复数z＝(a＋i)(1－i)＝(a＋1)＋(1－a)i，设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，则消去参数a，得点(x，y)的轨迹方程为x＋y＝2，所以复数z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故选ABD.]7．(多选)已知复数z＝，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为－2－3iD．若z(m＋4i)是纯虚数，则m＝－6BD [因为z＝＝2－3i，所以|z|＝，因此A项错误；复数z在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，B项正确；z的共轭复数＝2＋3i，C项错误；因为z(m＋4i)＝(2－3i)(m＋4i)＝(2m＋12)＋(8－3m)i为纯虚数，所以2m＋12＝0,8－3m≠0，得m＝－6，故D项正确．故选BD.]8．(多选)已知复数z＝，则( )A．z2021是纯虚数B．|z＋i|＝2C．z的共轭复数为－iD．复数＋z·i在复平面内对应的点在第二象限ABC [由题意知，z＝＝＝i，所以z2021＝i2021＝i，A正确；|z＋i|＝|2i|＝2，B正确；z的共轭复数为－i，C正确；＋z·i＝－i＋i·i＝－1－i，该复数在复平面内对应点(－1，－1)在第三象限，D错误．故选ABC.]二、填空题9．设复数z满足＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________.－i [复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i.]10．已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________，虚部是________．3 1 [z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故实部是3，虚部是1.]11．(2020·山东潍坊调研)已知i是虚数单位，z＝－3i2021，且z的共轭复数为，则z＝________，z·＝________.\n1－2i 5 [z＝－3i2021＝－3i＝i＋1－3i＝1－2i，＝1＋2i，所以z·＝5.]12．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________.－5 [z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.]1．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是( )A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2BC [|i|＝|1|，故A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又＝z3，所以|z2|＝||＝|z3|，故C正确；z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误，故选BC.]2．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．则z＝________，|z|＝________.－1－2i或－2－i [设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋是实数，所以b－＝0.又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0.②由①②得\n解得或故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i，|z|＝.]
