数系的扩充与复数的引入[考试要求] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则\n设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.( )(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.( )(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×二、教材习题衍生1．设z＝(1＋i)(2－i)，则复数z在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A [z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故复数z在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限．]2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是( )A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4iD [∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D．]\n3．设复数z满足＝i，则|z|等于( )A．1B．C．D．2A [＝i，则z＝＝i，∴|z|＝1.]4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝.2＋i [由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.∴z＝2＋i.]考点一 复数的有关概念 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0.(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0.1．(2020·广州模拟)如果复数z＝，则( )A．z的共轭复数为1＋iB．z的虚部为－iC．|z|＝2D．z的实部为－1D [∵z＝＝＝＝－1－i，∴z的实部为－1，故选D．]2．(2020·大连模拟)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则＝( )A．1B．C．D．D [由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，则y＝2x，＝|2＋i|＝，故选D．]\n3．如果复数是纯虚数，那么实数m等于( )A．－1B．0C．0或1D．0或－1D [＝＝，因为此复数为纯虚数，所以解得m＝－1或0，故选D．]考点二 复数的运算 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．[典例1] (1)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为( )A．1B．2C．3D．4(2)(2020·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝( )A．－iB．iC．1－iD．1＋i(1)C (2)B [(1)αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；＝＝＝－i，②正确；＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝1＋i，所以解得所以z＝i，故选B．]点评：(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在z，，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.1．(2020·全国卷Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z＝( )A．1－iB．1＋iC．－iD．iD [∵(1＋i)＝1－i，∴＝＝＝－i，∴z＝i，故选D．]2．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )A．0B．1C．D．2\nD [法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D．法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D．]考点三 复数的几何意义 与复数几何意义相关的问题的一般解法[典例2] (1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·黄冈模拟)已知i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为( )A．(0,1)B．(－1,0)C．(1,0)D．(0，－1)(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)(1)C (2)A (3)A [(1)由题意可知z＝x＋yi，所以|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝＝1.∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．(2)∵＝＝i，∴该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)，故选A．(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A．]点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于( )\nA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D [由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]2．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝.2 [设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝＝＝＝2.]
