课后限时集训(十七) 函数模型及其应用建议用时：40分钟一、选择题1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )A BC DB [函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，半缸水前，h的变化是越来越慢，半缸水后，h的变化是越来越快，故选B．]2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时累计里程(千米)2020年10月1日12350002020年10月15日6035600(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A．6升B．8升C．10升D．12升C [因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为＝10(升)．故选C．]3．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，\n因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低．设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在( )A．2楼B．3楼C．4楼D．8楼B [由题意知同学们总的不满意度y＝n＋≥2＝4，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，又当n＝2时，y＝6，当n＝3时，y＝3＋＜6，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼．故选B．]4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减A [设某商品原来价格为a，四年后价格为：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]5．(2020·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t秒内的路程为s＝t2米，那么，此人( )A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米D．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米D [已知s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.故选D．]6．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处B．4千米处\nC．3千米处D．2千米处A [设仓库建在离车站x千米处，则y1＝，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和为y＝＋0.8x≥8，当且仅当x＝5时，等号成立．]二、填空题7．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．43 [设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N*)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－×＋×＋32.因为x∈[0,16]且x∈N*，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]8．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．24 [由题意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝×192＝24.]9．(2020·洛阳模拟)为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张360元，使用规定：不记名，每卡每次仅限1人，每天仅限1次．公司共90名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次40元，如果要使每位员工健身10次，那么公司购买________张健身卡最合算．10 [设购买x张健身卡，这项健身活动的总支出为y，则y＝×40＋360x，即y＝360≥360×2＝7200，\n当且仅当＝x，即x＝10时取等号，所以公司购买10张健身卡最合算．]三、解答题10.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．[解] (1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，＝，所以＝，所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．11．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．\n(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解] (1)因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝－x2＋6x－5；当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.所以P(x)＝(2)当0＜x＜8时，P(x)＝－(x－6)2＋13，当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；当x≥8时，P′(x)＝－1＋＜0，所以P(x)为减函数，当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.由13＜可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．1．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( )A．1500元B．1550元C．1750元D．1800元A [设此人购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元．由题设可知y＝因为y＝50＞25，所以x＞1300，所以0.1×(x－1300)＋25＝50，解得x＝1550，故此人购物实际所付金额为1550－50＝1500(元)，故选A．]2．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、\n京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．(1)130 (2)15 [(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价达到120元，又x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．(2)设顾客买水果的总价为a元，当0≤a＜120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤a恒成立，x≤min，又a≥120，所以min＝15所以x≤15.综上可知，0≤x≤15.所以x的最大值为15.]3．某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k，b的值；(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x(单位：千元)近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．[解] (1)由已知得：⇒解得b＝5，k＝1.(2)当p＝q时，2＝2－x，所以(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋＝1＋.而f(x)＝x＋在(0,4]上单调递减，所以当x＝4时，f(x)有最小值，\n故当x＝4时，关税税率的最大值为500%.
