三角函数的图象与性质[考试要求] 1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：，k∈Z，递减区间：，k∈Z递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z递增区间，k∈Z奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心对称中心对称中心\n(kπ，0)，k∈Z，k∈Z，k∈Z对称轴x＝kπ＋(k∈Z)对称轴x＝kπ(k∈Z)周期性2π2ππ提醒：(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tanx无单调递减区间，y＝tanx在整个定义域内不单调．(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．( )(2)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )(3)函数y＝sinx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( )(4)y＝sin|x|与y＝|sinx|都是周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2\nA [T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A．]2．函数y＝tan2x的定义域是( )A．B．C．D．D [由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，∴y＝tan2x的定义域为.]3．y＝sin的单调减区间是．(k∈Z) [由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.]4．函数y＝3－2cos的最大值为，此时x＝.5 ＋2kπ(k∈Z) [函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝π＋2kπ(k∈Z)．]考点一 三角函数的定义域 三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z求解．1．函数y＝的定义域为． [要使函数有意义，必须有即\n故函数的定义域为2．函数y＝lg(sinx)＋的定义域为． [函数有意义，则即解得所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为3．函数y＝的定义域为． [法一：要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x.法二：sinx－cosx＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以定义域为点评：若定义域中含kπ或2kπ应注明k∈Z.考点二 三角函数的值域(最值) 求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t\n的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．[典例1] (1)已知函数f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx－，则函数f(x)在区间上的值域是．(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为．(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为．(1)(－1,2] (2)－4 (3) [(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx－＝(1－cos2x)＋sin2x－＝sin2x－cos2x＝2sin.∵＜x＜，∴＜2x－＜，∴－＜sin≤1，∴－1＜2sin≤2，即函数f(x)在区间上的值域是(－1,2]．(2)∵f(x)＝sin－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令cosx＝t，则t∈[－1,1]．∴f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2＋，易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值为－4.(3)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．当t＝1时，ymax＝1；\n当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为.]点评：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，令t＝ωx＋φ，求出t的范围，再根据y＝sint的图象求sint的值域，这是常用的方法．1．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为． [当x∈时，2x－∈，∴sin∈，故3sin∈，∴函数f(x)在区间上的值域为.]2．函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是．1 [依题意，f(x)＝sin2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－＋1，因为x∈，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝时，f(x)max＝1.]考点三 三角函数的单调性 求三角函数的单调区间 三角函数单调区间的求法(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．(2)根据y＝sinx和y＝cosx的单调区间及A的正负，列不等式求解．[典例2－1] (1)函数f(x)＝3sin的一个单调递减区间是( )A．B．C．D．\n(2)函数y＝sinx＋cosx的单调递增区间是．(1)B (2) [(1)f(x)＝3sin＝－3sin.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，k＝0时，≤x≤，k＝1时，π≤x≤π，k＝－1时，－≤x≤－，∴是f(x)的一个单调递减区间，故选B．(2)∵y＝sinx＋cosx＝sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，又x∈，∴函数的单调递增区间为.]点评：本例(2)在整体求得函数y＝sinx＋cosx的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈上的区间． 已知三角函数的单调性求参数 已知单调区间求参数范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法\n由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解[典例2－2] (1)(2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )A．(0,2]B．C．D．(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )A．B．C．D．π(1)D (2)A [(1)法一：(反子集法)∵x∈，∴ωx＋∈.∵f(x)在上单调递减，∴解得又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时≤ω≤，故选D．法二：(子集法)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z，因为f(x)＝sin在上单调递减，所以解得因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D．(2)f(x)＝cosx－sinx＝cos，由0≤x＋≤π得－≤x≤π.∴是f(x)的一个单调递减区间．\n由题意知[－a，a]⊆，∴0＜a≤，则a的最大值为，故选A．]1．(2020·湖南省湘东六校联考)函数f(x)＝sin－，则下列表述正确的是( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增D [f(x)＝sin－，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝0时，x∈，所以函数f(x)在上单调递增，故选D．]2．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f(x)在区间上单调递增，则φ的取值范围是( )A．B．C．D．∪C [∵函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)在区间上单调递增，∴函数y＝2sin(2x＋φ)在区间上单调递减，由＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ－≤x≤＋kπ－，k∈Z，∴＋kπ－≤，≤＋kπ－，k∈Z，∴＋kπ≤≤＋kπ，k∈Z，＋2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈Z，∵|φ|＜π，∴令k＝0，解得≤φ≤，∴φ的取值范围是.故选C．]\n3．函数g(x)＝－cos的单调递增区间为．， [g(x)＝－cos＝－cos，欲求函数g(x)的单调递增区间，只需求函数y＝cos的单调递减区间．由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．因为x∈，所以函数g(x)的单调递增区间为，.]4．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝. [由题意知＝－＝，故T＝π，所以ω＝＝2，又因为f＝1，所以sin＝1.因为|φ|＜，所以φ＝，即f(x)＝sin.故f＝sin＝cos＝.]考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 三角函数的周期性 求三角函数周期的常用方法(1)公式法求周期\n①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝；②函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝.(2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于；②对称中心到对称轴距离的最小值等于；③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.[典例3－1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(1)A (2)B [(1)对于选项A，作出y＝|cos2x|的部分图象，如图①所示，则f(x)在上单调递增，且最小正周期T＝，故A正确．对于选项B，作出f(x)＝|sin2x|的部分图象，如图②所示，则f(x)在上单调递减，且最小正周期T＝，故B不正确．对于选项C，∵f(x)＝cos|x|＝cosx，∴最小正周期T＝2π，故C不正确．对于选项D，作出f(x)＝sin|x|的部分图象，如图③所示．显然f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A． \n图① 图②图③(2)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝2cos2x－sin2x＋2sin2x＋2cos2x＝4cos2x＋sin2x＝3cos2x＋1＝(1＋cos2x)＋1＝cos2x＋，因此函数f(x)的最小正周期为π，最大值为＋＝4，故选B．]点评：带绝对值的三角函数求周期时，一般画出函数的图象，结合图象求周期． 三角函数的奇偶性 1.三角函数是奇、偶函数的充要条件(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．2．若y＝f(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝f(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．[典例3－2] 已知函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)．(1)若f(x)为偶函数，则φ＝；(2)若f(x)为奇函数，则φ＝.(1)π (2) [(1)因为f(x)＝3sin为偶函数，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.(2)因为f(x)＝3sin为奇函数，所以－＋φ＝kπ，k∈Z，\n又φ∈(0，π)，所以φ＝.] 三角函数的对称性 求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝(k∈Z)，求x.[典例3－3] (1)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为．(1)B (2)－ [(1)因为函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．\n(2)由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．∵φ∈，∴φ＝－.]点评：(1)已知x＝a是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一条对称轴，则f(a)＝±A，即ωa＋φ＝kπ＋，k∈Z.(2)已知点(b,0)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个对称中心，则f(b)＝0，即ωb＋φ＝kπ，k∈Z.1．函数f(x)＝的最小正周期为( )A．B．C．πD．2πC [∵f(x)＝＝＝sin2x，∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故选C．]2．(2020·广西桂林模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数y＝f(x)的图象( )A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝－对称B [由题意知函数f(x)的周期T＝×2＝，由＝得ω＝4，∴f(x)＝sin.由f＝sin＝－1知，f(x)的图象关于直线x＝－对称．由f＝sin0＝0知，f(x)的图象关于点对称，故选B．]\n3．若函数y＝3cos为奇函数，则|φ|的最小值为． [由题意得φ－＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝－1时，φ＝－，|φ|＝，|φ|的最小值为.]
