正弦定理、余弦定理的综合应用[考试要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i＝＝tanθ提醒：涉及到角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置．如方位角135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )\n(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√二、教材习题衍生1．点A在点B的北偏东60°，则点B在点A的( )A．北偏西60°B．南偏东30°C．南偏西60°D．北偏西30°C [如图所示，点B在点A的南偏西60°，故选C．]2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )A．50mB．50mC．25mD．mA [由正弦定理得＝，又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．]3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝.a [由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，所以AC＝a，所以在Rt△ACB中，\nAB＝AC·sin∠ACB＝a.]4．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔基在同一水平地面上，则塔的高度为m.40 [如图所示，BD＝10m，则AB＝20m，AD＝20cos30°＝10m，在△ACD中，CD＝10·tan60°＝30m，所以塔的高度CB＝30＋10＝40m．]考点一 解三角形的实际应用利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤[典例1] (1)(2020·宜宾模拟)海上一艘轮船以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则两个小岛间的距离CD＝nmile.(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B\n处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为．(1)10 (2)[(1)∵△ABC中，由题意可得：∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×＝20，∴由正弦定理＝，∴BC＝＝＝20.∵在△ABD中，由于∠DAB＝60°，∠ADB＝45°，由正弦定理可得：＝，可得：BD＝＝＝10，∴△BCD中，由余弦定理可得CD2＝(10)2＋(20)2－2×10×20×cos45°，∴解得：CD＝10.即两个小岛之间的距离CD为10nmile.(2)在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，得BC＝20.由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，\n则cos∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.]点评：解答此类问题的关键是正确理解题意，包括所涉及的方向角、方位角及仰角、俯角等，依据题意画出示意图．1．(2020·开封模拟)国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为( )A．17米B．22米C．31米D．35米C [如图所示，依题意可知∠ADC＝45°，∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知＝，∴AC＝＝25米．∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝25×＝≈31米．∴旗杆的高度约为31米，故选C．]2．(2020·宜昌模拟)如图所示，为了测量A，B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在C的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30°的方向上，再开回C处，由C向西开2百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5°的方向上，则A，B两座岛屿间的距离为( )\nA．3百海里B．3百海里C．4百海里D．4百海里B [如图所示，根据题意知：∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∠ACB＝60°，DC＝2，CE＝2，∠BCE＝75°，∠CBE＝45°，∠CEB＝60°.所以在△BCE中，利用正弦定理＝，解得BC＝，在△ADC中，∠ADC＝∠DAC＝67.5°，所以DC＝AC＝2，则在△ACB中，利用余弦定理AB2＝AC2＋CB2－2AC·CB·cos60°，解得AB＝3，故选B．]考点二 平面几何中的解三角形问题与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[典例2] 如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的长．[解] 设∠CED＝α.\n因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得＝，于是sinα＝＝＝，即sin∠CED＝.(2)由题设知0＜α＜，由(1)知cosα＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，所以cos∠AEB＝cos＝coscosα＋sinsinα＝－×＋×＝.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.点评：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．(2020·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值．[解] (1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，\n由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×cos45°＝5，所以b＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝.(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，所以∠ADC为钝角．而∠ADC＋∠C＋∠CAD＝180°，所以∠C为锐角．故cosC＝＝，则tanC＝＝.因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，所以tan∠ADC＝＝－.从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－∠C)＝－tan(∠ADC＋∠C)＝－＝－＝.考点三 与三角形有关的最值、范围问题 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．(2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c\n，三角形中大边对大角等． 求角(函数值)的最值(范围)[典例3－1](2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsinA－a＝0.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．[解] (1)由正弦定理，得2sinBsinA＝sinA，故sinB＝，由题意得B＝.(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC是锐角三角形，得A∈.由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得cosA＋cosB＋cosC＝sinA＋cosA＋＝sin＋∈.故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是.点评：求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解． 求边(周长)的最值(范围)[典例3－2](2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[解] (1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB． ①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA． ②由①②得cosA＝－.因为0＜A＜π，所以A＝.(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，\n从而AC＝2sinB，AB＝2sin(π－A－B)＝3cosB－sinB．故BC＋AC＋AB＝3＋sinB＋3cosB＝3＋2sin.又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.点评：求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解． 求三角形面积的最值(范围)[典例3－3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解] (1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA．因为sinA≠0，所以sin＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C<90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.因此，△ABC面积的取值范围是.点评：求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，\n利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．1．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为( )A． B． C．1 D．B [∵acosA＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBsinA，∵sinA≠0，∴cosA＝sinB，又B为钝角，∴B＝A＋，sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋cos2A＝sinA＋1－2sin2A＝－2＋，∴sinA＋sinC的最大值为.]2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取值范围．[解] (1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝π，所以B＝.根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.(2)由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，＝＝＝1，所以a＋c＝sinA＋sinC＝sinA＋sin＝＝sin.因为0＜A＜，所以＜A＋＜.所以＜sin≤1，\n从而＜sin≤，所以a＋c的取值范围是.3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB－bcosA＝0.(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[解] (1)由asinB－bcosA＝0及正弦定理得，sinAsinB－sinBcosA＝0，因为sinB≠0，所以sinA＝cosA，即tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.(2)因为a＝2，所以4＝c2＋b2－bc≥2bc－bc，所以4(2＋)≥bc，因为S△ABC＝bcsinA＝bc，所以当且仅当b＝c＝＋时S△ABC最大，所以△ABC面积的最大值为2＋.
