正弦定理、余弦定理[考试要求] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)＝＝2RcosA＝；cosB＝；cosC＝提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁．2．三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；\n(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．4．三角形中的大角对大边在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B．( )(3)在△ABC中，＝.( )(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )A．2 B．1 C． D．D [由＝得b＝＝＝×2＝.]2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )A．B．C．D．C [由题意知，a＝BC＝7，b＝AC＝3，c＝AB＝5，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－.又因为∠BAC是△ABC的内角，所以∠BAC＝，故选C．]3．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，\n所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则b＝.7 [S△ABC＝acsinB＝×a×5×sin＝a＝，解得a＝3.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋52－2×3×5×＝49，∴b＝7.]考点一 利用正、余弦定理解三角形 解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C．(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．[典例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sinC．[解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.\n(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C或C＝π－m－B，由此可消去B或C．1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝( )A．6B．5C．4D．3A [∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.故选A．]2．[结构不良试题](2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝sinB，C＝，？[解] 方案一：选条件①.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.\n由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.由②csinA＝3，所以c＝b＝2，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.方案三：选条件③.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由③c＝b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．考点二 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．[典例2] (1)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cosC＝ccosA，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则a＋b＝.(2)(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.①若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；②若sinA＋sinC＝，求C．(1) [由(3b－a)cosC＝ccosA，得3sinBcosC－sinAcosC＝sinCcosA，即3sinBcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB，又sinB≠0，所以cosC＝，得sinC＝.由\nS△ABC＝absinC＝3，得ab×＝3，得ab＝9.又c是a，b的等比中项，所以c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得ab＝a2＋b2－ab.∴a2＋b2＝ab＝×9＝15，即a2＋b2＝15，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝15＋18＝33，即a＋b＝.](2)[解] ①由题设及余弦定理，得28＝3c2＋c2－2×c2×cos150°，解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.因此△ABC的面积为×2×2×sin150°＝.②在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，所以sinA＋sinC＝sin(30°－C)＋sinC＝sin(30°＋C)，故sin(30°＋C)＝.而0°<C<30°，所以30°＜30°＋C＜60°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsinB＝2sinC，则△ABC的面积为． [因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cosC＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsinB＝2sinC，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absinC＝×2sin＝.]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB．(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)\n＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B．(2)由S＝，得absinC＝，故有sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB．又B，C∈(0，π)．所以C＝±B．当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.考点三 判断三角形的形状 1.判定三角形形状的两种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[典例3] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，已知a－b＝ccosB－ccosA．①判断△ABC的形状；②若C＝120°，a＝2，求c.(1)B [由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，\n∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A．∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．](2)[解] ①由正弦定理＝＝及a－b＝ccosB－ccosA，可得：sinA－sinB＝sinCcosB－sinCcosA，可得：sin(B＋C)－sin(A＋C)＝sinCcosB－sinCcosA，可得：sinBcosC＋cosBsinC－sinAcosC－cosAsinC＝sinCcosB－sinCcosA，可得：sinBcosC－sinAcosC＝0，则cosC(sinB－sinA)＝0，则cosC＝0或sinB－sinA＝0，所以C＝90°或A＝B，所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．②因为C＝120°，则△ABC为等腰三角形，从而a＝b＝2，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝4＋4－2×2×2×cos120°，所以c＝2.1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形C [因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]2．在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，则△ABC的形状是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形B [∵sinBsinC＝cos2＝，∴2sinBsinC＝－cosBcosC＋sinBsinC＋1，\n∴cosBcosC＋sinBsinC＝cos(B－C)＝1，∵－π＜B－C＜π，∴B－C＝0，B＝C，∴三角形为等腰三角形，故选B．]
