考前冲刺二 压轴小题“瓶颈”突破“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个台阶？新高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第8，11，12，15，16题中有较大收获，分析近年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”，迈进双一流.压轴热点1 函数的图象、性质及其应用【例1】(1)(2020·江南名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－lnx＋ln，则函数g(x)＝f(x)－sinx的零点个数为( )A.1B.2C.3D.5(2)(2020·石家庄调研)若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)＞0的解集为________.解析 (1)函数g(x)的零点个数，即函数y＝f(x)的图象与y＝sinx的图象交点个数.当x＞0时，f(x)＝x－lnx＋ln，则f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝.易知当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0.则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时，f(x)取得最小值，且最小值为f＝1.函数y＝sinx在x＝处取得最大值1，所以当x＞0时，f(x)的图象与y＝sinx的图象有且只有一个交点.由f(x)和y＝sinx均为奇函数，可得当x＜0时，f(x)的图象与y＝sinx的图象的交点也有且只有一个，为点.又两函数的图象均过原点，因此函数y＝f(x)与y＝sinx的图象有3个交点，所以函数g(x)＝f(x)－sinx的零点有3个.(2)因为函数f(x－2)是奇函数，所以函数f(x－2)的图象关于点(0，0)对称，故f(x)的图象关于点(－2，0)对称.又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，－2)上也单调递减，由f(3－x)＞0＝f(－2)，得3－x＜－2，∴x＞5.∴不等式f(3－x)＞0的解集为(5，＋∞).答案 (1)C (2)(5，＋∞)探究提高 1.利用图象法求函数f(x)的零点个数时，直接画函数f(x\n)的图象较困难，可以将解析式变形，将函数零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两函数图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.(2)熟练掌握与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.【训练1】(2020·山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，在f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.解析 因为函数f(x)＝x3－2x＋ex－，所以f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2≥0(当且仅当x＝0时取等号)，所以f(x)在R上单调递增.又f(－x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)且x∈R，∴f(x)是奇函数，由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a).所以2a2≤1－a，解之得－1≤a≤.答案 压轴热点2 三角函数与正(余)弦定理【例2】(1)已知函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(ω>0)，若x＝x0是函数f(x)的一条对称轴，且tanωx0＝3，则点(a，b)所在的直线为( )A.x－3y＝0B.x＋3y＝0C.3x－y＝0D.3x＋y＝0(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝sinAcosC，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.解析 (1)f(x)＝asinωx＋bcosωx＝sin(ωx＋φ)，其中tanφ＝.∵x＝x0是函数f(x)的一条对称轴，∴ωx0＋φ＝kπ＋，k∈Z.∵tanωx0＝tan＝tan＝＝，从而＝3，得a－3b＝0，所以点(a，b)在直线x－3y＝0上.\n(2)因为cosA＝sinAcosC，所以bcosA－sinCcosA＝sinAcosC，所以bcosA＝sin(A＋C)，所以bcosA＝sinB，所以＝，又＝，a＝2，所以＝，得tanA＝，又A∈(0，π)，则A＝，由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.答案 (1)A (2)3探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键在于灵活利用三角恒等变换公式将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0，A>0)的形式，进一步讨论函数的单调性、对称性、周期、零点等.2.解三角形的关键是活用正弦、余弦定理实施边角的转化，在求三角形面积的取值时，常把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决.【训练2】(2020·成都诊断)如图所示的是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上的图象，若将该函数图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为( )A.πB.C.D.解析 由图象知，最小正周期T＝π－＝π，∴ω＝＝2.又是图象的“第一零点”.∴－×2＋φ＝0，则φ＝.\n故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.把f(x)＝sin的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m＞0)个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，因为所得图象关于直线x＝对称，所以4×－4m＋＝＋kπ(k∈Z)，解得m＝π－kπ，k∈Z，所以由m＞0，可得当k＝1时，m取得最小值，且最小值为.答案 C压轴热点3 空间位置关系与计算【例3】(1)(多选题)如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中正确的是( )A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B.恒有BD∥平面A′EFC.三棱锥A′－EFD的体积有最大值D.异面直线A′F与DE不可能垂直(2)(2020·江南名校联考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为________，CE和该截面所成角的正弦值为________.解析 (1)因为A′D＝A′E，△ABC是正三角形，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；因为BD∥EF，所以恒有BD∥平面A′EF，故B正确；三棱锥A′－FED的底面积是定值，体积由高即点A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′－FED的体积有最大值，故C正确；因为DE⊥平面A′FG，故A′F⊥DE，故D错误.(2)如图所示，设CD，BC的中点分别为H，G，连接HE，HG，GE，HF，ME，NH.\n易证ME∥NH，ME＝NH，所以四边形MEHN是平行四边形，所以MN∥HE.易知四边形EFHG为矩形，因为MN⊄平面EFHG，HE⊂平面EFHG，所以MN∥平面EFHG，所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG，平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG，易知EF＝，FH＝2，所以截面EFHG的面积为2×＝2.连接AC，交HG于点I，易知CI⊥HG，平面EFHG⊥平面ABCD，平面EFHG∩平面ABCD＝HG，所以CI⊥平面EFHG，连接EI，因为EI⊂平面EFHG，所以CI⊥EI，所以∠CEI为直线CE和截面EFHG所成的角.在Rt△CIE中，易知CE＝＝，CI＝AC＝＝，所以sin∠CEI＝＝.答案 (1)ABC (2)2 探究提高 1.在折叠过程中，△A′DE的边长不变，BC∥平面A′DE及A′G⊥DE的关系保持不变，抓住不变性，明确几何量之间的关系是解题的关键.2.第(2)题利用线面平行的判定，确定所求截面为矩形EFHG，这是求解的关键，第二个空在前面的基础上，运用线面、线线、面面垂直作出线面角，使考题的功能最大化，进一步考查学生数学运算与逻辑推理等数学核心素养.【训练3】(1)(多选题)如图，平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD，则四面体A′BCD中，下列结论正确的是( )\nA.EF∥平面A′BCB.异面直线CD与A′B所成的角为90°C.异面直线EF与A′C所成的角为60°D.直线A′C与平面BCD所成的角为30°(2)(2020·河北名校调研)在三棱锥P－ABC中，若平面PBC⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，PB＝2，∠PBC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是________.解析 (1)A选项：因为E，F分别为A′D和BD的中点，所以EF∥A′B，即EF∥平面A′BC，A正确.B选项：因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确.C选项：取CD边中点M，连接EM，FM，则EM∥A′C，所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，因为CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′D，又A′D＝CD＝2，所以A′C＝2，所以EM＝，又EF＝1，FM＝＝，所以∠FEM＝90°，故C错误；D选项，连接A′F，因为A′B＝A′D，F为BD的中点，所以A′F⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以A′F⊥平面BCD，连接FC，∠A′CF为直线A′C与平面BCD所成的角，又A′C＝2，A′F＝＝，所以sin∠A′CF＝＝＝，所以∠A′CF＝30°，故D正确，故选ABD.(2)在平面BCP中找一点Q，连接BQ，使得BQ为△BCP外接圆的直径，连接QC，则∠QCB＝90°，则QC⊥平面ABC，所以QC⊥AC，∠QCA＝90°.易知AB⊥平面PBC，则∠ABQ＝90°，连接AQ，设AQ的中点为O，则点O到A，B，C，Q四点的距离相等，故AQ为三棱锥P－ABC外接球的直径.易得PC＝，BQ＝＝，所以AQ2＝BQ2＋AB2＝14＝4R2(R为外接球的半径).故S外接球＝4πR2＝14π.答案 (1)ABD (2)14π压轴热点4 圆锥曲线及其性质【例4】(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8\n(2)(2020·成都七中检测)已知双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为( )A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x解析 (1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，∵|AB|＝4，点A是圆与抛物线交点，由对称性设A(x1，2)，则x1＝＝.又|DE|＝2，且点D是准线与圆的交点，∴D且|OD|＝|OA|.从而＋(2)2＝＋()2，解得p＝4.因此C的焦点到准线的距离是4.(2)依题意，不妨设点M(x，y)在第一象限，联立解得(其中c2＝a2＋b2)，可知四边形MNPQ为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，·＝2，即2c2＝5ab.又因为c2＝a2＋b2，所以2(a2＋b2)＝5ab⇒2×－5×＋2＝0，解得＝(＝2舍去).故所求渐近线方程为y＝±x.答案 (1)B (2)B探究提高 1.与圆锥曲线方程相关的问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算.2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a，b，c满足的等量关系(不等关系)，然后把b用a，c表示，求的值(范围).\n【训练4】(1)(2020·太原检测)已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，P为AB的中点，O为原点.若△OPF是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为( )A.±B.±C.±2D.±2(2)已知双曲线C经过点(2，3)，且该双曲线的其中一条渐近线的方程为y＝x，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，双曲线C的方程为________，若P为该双曲线右支上一点，点A(6，8)，则当|PA|＋|PF2|取最小值时，点P的坐标为________.解析 (1)因为c＝＝，所以右焦点F(，0).设直线l的方程为y＝k(x－)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则①－②得＋(y－y)＝0，则＝－.因为点P为AB中点，知x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.所以直线l的斜率k＝＝－＝－.又△OPF是以OF为底边的等腰三角形，所以x0＝，y0＝k(x0－)＝－k.所以k＝－＝－，得k2＝，k＝±.(2)由题意，可设双曲线C的方程为y2－3x2＝λ，将(2，3)代入，得32－3×22＝λ，得λ＝－3，故双曲线C的方程为x2－＝1.作出双曲线C如图所示，连接PF1，AF1.\n由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2.所以|PF2|＝|PF1|－2.则|PA|＋|PF2|＝|PA|＋|PF1|－2≥|AF1|－2，当且仅当A，P，F1三点共线时，等号成立.由A(6，8)，F1(－2，0)，得直线AF1的方程为y＝x＋2，由得2x2－4x－7＝0，解得x＝1±，又点P在双曲线的右支上，所以点P的坐标为.答案 (1)A (2)x2－＝1 压轴热点5 导数及其应用【例5】(2020·合肥检测)已知函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________.解析 函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a－x2＝－2lnx在上有解，即－a＝2lnx－x2在上有解.设f(x)＝2lnx－x2，x∈，则f′(x)＝.∴f′(x)＝0在上有唯一的零点x＝1.故f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减.∴f(x)max＝f(1)＝－1，又f＝－2－，f(e)＝2－e2，知f(e)＜f.∴函数f(x)的值域为[2－e2，－1].故方程－a＝2lnx－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2，∴实数a的取值范围是[1，e2－2].答案 [1，e2－2]探究提高 \n1.利用导数研究函数的单调性、极值，一定注意字母参数取值的影响，重视分类讨论思想.2.利用导数解零点或不等式问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法等.【训练5】(2020·佛山调研)已知f(x)是定义在上的奇函数，其导函数为f′(x)，f＝，且当x∈时，f′(x)sin2x＋2f(x)cos2x＞0.则不等式f(x)sin2x＜1的解集为________.解析 设F(x)＝f(x)sin2x，则F′(x)＝f′(x)sin2x＋2f(x)cos2x.∵f(x)在上是奇函数，∴F(－x)＝f(－x)sin(－2x)＝f(x)sin2x＝F(x)，故F(x)在定义域上是偶函数.当x∈时，f′(x)sin2x＋2f(x)cos2x＞0，∴F′(x)＞0，则F(x)在上单调递增.因为F＝fsin＝×＝1.又F(x)在上是偶函数，且在上递增.∴f(x)sin2x＜1⇔F(x)＜F.∴|x|＜，解之得－＜x＜，所以x∈.答案
