四、考前冲刺高分考前冲刺一 12类二级结论高效解题高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.结论1 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.【例1】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.解析 显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案 2【训练1】已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg2)＋f＝( )\nA.－1B.0C.1D.2解析 令g(x)＝ln(－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg＝－lg2，所以g(lg2)＋g＝0，所以f(lg2)＋f＝g(lg2)＋1＋g＋1＝2.答案 D结论2 函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.【例2】(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＋f(2020)＝( )A.－2B.－1C.0D.1(2)(多选题)(2020·济南模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数解析 (1)因为f＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－f＝f(x)，则f(x)的周期T＝3.则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2020)＝0＋f(1)＝－1.(2)法一 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以\nf(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.法二 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|2－1|＝2，所以f(x)与f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)与f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.答案 (1)B (2)ABC【训练2】奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A.－2B.－1C.0D.1解析 由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x).故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.答案 D结论3 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.(3)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.【例3】(1)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________.(2)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是( )A.f(x)的图象关于点(1，1)对称B.f(x)是周期为4的函数C.若f(x)满足对任意的x∈[0，1]，都有<0，则f(x)在[－3，－2]上单调递增\nD.若f(x)在[1，2]上的解析式为f(x)＝lnx＋1，则f(x)在[2，3]上的解析式为f(x)＝1－ln(x－2)解析 (1)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2016)＋f(2018)＝－f(2014)＋f(2014＋4)＝－f(2014)＋f(2014)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.(2)根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝f(－x)，则2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，从而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正确；由<0可知f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x)在[1，2]上单调递增，因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[－3，－2]上单调递增，C正确；因为f(x)＝f(－x)，x∈[－2，－1]时，－x∈[1，2]，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋1，x∈[－2，－1]，因为f(x)的周期为4，f(x)＝f(x－4)，x∈[2，3]时，x－4∈[－2，－1]，所以f(x)＝f(x－4)＝ln(4－x)＋1，x∈[2，3]，D错误.综上，正确的是ABC.答案 (1)4 (2)ABC【训练3】(1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )\n(2)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝________.解析 (1)作出y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，将y＝f(－x)的图象向右平移1个单位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象.因此图象A满足.(2)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(x＋4)，则f(－1)＝f(3)＝3.答案 (1)A (2)3结论4 两个经典不等式(1)对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立.(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1).【例4】已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n，…<e.(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，①若a≤0，因为f＝－＋aln2<0，所以不满足题意.②若a>0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.(2)证明 由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－lnx>0.令x＝1＋，得ln<.从而ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝1－<1.故…<e.【训练4】(1)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )\n解析 由得{x|x>－1，且x≠0}，所以排除选项D.当x>0时，由经典不等式x>1＋lnx(x>0)，以x＋1代替x，得x>ln(x＋1)(x>－1，且x≠0)，所以ln(x＋1)－x<0(x>－1，且x≠0)，排除A，C，易知B正确.答案 B(2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点.证明 令g(x)＝f(x)－＝ex－x2－x－1，x∈R，则g′(x)＝ex－x－1，由经典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上为增函数，且g(0)＝0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.结论5 三点共线的充要条件设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.特别地，当P为线段AB的中点时，＝＋.【例5】在△ABC中，＝2，＝3，连接BF，CE，且BF与CE交于点M，＝x＋y，则x－y等于( )A.－B.C.－D.解析 因为＝2，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.\n由B，M，F三点共线得x＋y＝1.①因为＝3，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.由C，M，E三点共线得x＋y＝1.②联立①②解得所以x－y＝－＝－.答案 C【训练5】在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.解析 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得AB＝AT，∴＝＝λ＋μ，∴＝λ＋μ，∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝.答案 结论6 三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.\n【例6】P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析 由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P是△ABC的垂心.答案 D【训练6】O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析 设BC的中点为M，则＝，则有＝＋λ，即＝λ.∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.答案 C结论7 与等差数列相关的结论已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn.(1)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.(2)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.(3)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.【例7】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )A.3B.4C.5D.6(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.解析 (1)∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，∴数列也为等差数列.\n∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5.经检验，m＝5符合题意.(2)由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，显然可得am≠0，所以am＝2.代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.答案 (1)C (2)10【训练7】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝50，则S30＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.解析 (1)(S20－S10)－S10＝(S30－S20)－(S20－S10)，S30＝3S20－3S10＝3×50－3×20＝90.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.答案 (1)90 (2)5结论8 与等比数列相关的结论已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.(1)数列也为等比数列，其公比为.(2)公比q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).(3)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.(4)已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.则Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N*).【例8】(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )A.2B.C.D.3解析 由已知＝3，得S6＝3S3且q≠－1，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3).化简得S9＝7S3，从而＝＝.答案 B\n(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝，S6＝.①求数列{an}的通项公式；②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值.解 ①由S3＝，S6＝，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝.故通项公式an＝×2n－1＝2n－2.②由①及题意可得log2an＝n－2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝＝275.【训练8】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )A.或5B.或5C.D.解析 设等比数列{an}的公比为q，易知S3≠0.则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.答案 C结论9 多面体的外接球和内切球(1)长方体的体对角线长d与共点的三条棱长a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.(2)棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.【例9】已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A.B.C.D.解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等).\n依题意，＝，得x＝2，易得小三棱锥的高为.设小球半径为r，则S底面·＝4×S底面·r(S底面为小三棱锥的底面积)，得r＝.故小球的表面积S＝4πr2＝.答案 C【训练9】(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( )A.B.2C.4D.3(2)已知球O的直径PA＝2r，B，C是该球面上的两点，且BC＝PB＝PC＝r，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为( )A.64πB.32πC.16πD.8π解析 (1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC－A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的表面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为＝.(2)如图，取PA的中点O，则O为球心，连接OB，OC，则几何体O－BCP是棱长为r的正四面体，所以VO－BCP＝r3，于是VP－ABC＝2VO－BCP＝r3，令r3＝，得r＝4.从而S球＝4π×42＝64π.答案 (1)A (2)A结论10 焦点三角形的面积公式(1)在椭圆＋＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2·tan，其中θ＝∠F1PF2.(2)在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则△PF1F2\n的面积S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2.【例10】如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )A.B.C.D.解析 设双曲线C2的方程为－＝1，则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为btan45°＝，即b＝b＝1.所以a＝c－b＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝＝＝.答案 D【训练10】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析 在焦点三角形PF1F2中，⊥，所以∠F1PF2＝90°，故S△PF1F2＝b2tan＝b2tan45°＝9，则b＝3.答案 3结论11 圆锥曲线的切线问题(1)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2.(2)过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.(3)已知点M(x0，y0)，抛物线C：y2＝2px(p≠0)和直线l：y0y＝p(x＋x0).①当点M在抛物线C上时，直线l与抛物线C相切，其中M为切点，l为切线.②当点M在抛物线C外时，直线l与抛物线C相交，其中两交点与点M\n的连线分别是抛物线的切线，即直线l为切点弦所在的直线.【例11】已知抛物线C：x2＝4y，直线l：x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.解 联立方程得消去y，整理得x2－4x＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l与抛物线C相离.由结论知，P在抛物线外，故切点弦AB所在的直线方程为x0x＝2(y＋y0)，即y＝x0x－y0.【训练11】(1)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A.2x＋y－3＝0B.2x－y－3＝0C.4x－y－3＝0D.4x＋y－3＝0(2)设椭圆C：＋＝1，点P，则椭圆C在点P处的切线方程为________________.解析 (1)如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1).又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，∴kAB＝－2.故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.(2)由于点P在椭圆＋＝1上，故切线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.答案 (1)A (2)x＋2y－4＝0结论12 过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则(1)xA·xB＝.(2)yA·yB＝－p2.\n(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角).【例12】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )A.4B.C.5D.6解析 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝＝，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.答案 B【训练12】设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.B.C.D.解析 法一 由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.\n法二 由2p＝3，及|AB|＝得|AB|＝＝＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.答案 D
