课时规范练57 绝对值不等式 基础巩固组1.(2020江西上饶三模,23)已知f(x)=|x+1|-|2x-1|,其中a∈R.(1)求不等式f(x)>0的解集;(2)若f(x)≤log2a恒成立,求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,a∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥5;(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|<3,求a的取值范围.\n3.(2020湖南湘潭三模,文23)已知函数f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)+x>|x-2|的解集;(2)设函数y=f(x)+f(x-3)的最小值为m,已知a2+b2+c2=m,求ab+bc的最大值.4.(2020河北唐山一模,23)已知函数f(x)=|x+a|-2|x-1|-1.(1)当a=1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)是否存在实数a,使得f(x)的图象与x轴有唯一的交点?若存在,求a的值;若不存在,说明理由.5.设函数f(x)=|x+1|+3|x-a|.\n(1)当a=1时,解不等式f(x)≤2x+3;(2)若关于x的不等式f(x)<4+2|x-a|有解,求实数a的取值范围.6.(2020辽宁大连三模,22)设函数f(x)=|x-2|+|3x-4|.(1)解不等式f(x)>2;(2)若f(x)的最小值为m,实数a,b满足3a+4b=3m,求(a-2)2+b2的最小值.综合提升组7.已知函数f(x)=|x-2|-m(x∈R),且f(x+2)≤0的解集为[-1,1].(1)求实数m的值;(2)设a,b,c∈R+,且a2+b2+c2=m,求a+2b+3c的最大值.\n8.(2020河北石家庄二模,23)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-2|,g(x)=|x-1|+|x+3m|-m.(1)求函数f(x)的最小值;(2)对于任意x1∈R,存在x2∈R,使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数m的取值范围.\n创新应用组9.(2020山西运城模拟,23)已知函数f(x)=|3x+6|,g(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)>g(x)的解集;(2)若f(x)+3g(x)≥a2-2a对于任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案课时规范练57 绝对值不等式1.解(1)由题意得|x+1|>|2x-1|,所以|x+1|2>|2x-1|2,整理得x2-2x<0,解得0<x<2.故不等式解集为{x|0<x<2}.(2)由已知可得,log2a≥[f(x)]max.f(x)=|x+1|-|2x-1|=x-2,x<-1,3x,-1≤x≤12,-x+2,x>12.\n可知当x=12时,f(x)取得最大值32,所以log2a≥32,a≥22.所以实数a的取值范围为[22,+∞).2.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|2x+1|,由f(x)≥5得|x-2|+|2x+1|≥5.当x≥2时,不等式等价于x-2+2x+1≥5,解得x≥2;当-12<x<2时,不等式等价于2-x+2x+1≥5,即x≥2,不等式无解;当x≤-12时,不等式等价于2-x-2x-1≥5,解得x≤-43.所以原不等式的解集为-∞,-43∪[2,+∞).(2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|≥|2x+a-(2x-4)|=|a+4|.因为f(x)+|x-2|<3等价于(f(x)+|x-2|)min<3,所以|a+4|<3,所以-7<a<-1.故所求实数a的取值范围为(-7,-1).3.解(1)f(x)+x>|x-2|,即|x-2|<x+|x+1|.当x≥2时,不等式化为x-2<x+x+1,解得x>-3,所以x≥2;当-1<x<2时,不等式化为2-x<x+x+1,解得x>13,所以13<x<2;当x≤-1时,不等式化为2-x<x-x-1,解得x>3,此时无解.综上,原不等式的解集为13,+∞.(2)因为f(x)+f(x-3)=|x+1|+|x-2|≥|x+1-x+2|=3,所以a2+b2+c2=3.又因为a2+b2+c2=a2+b22+b22+c2≥2ab+2bc,则ab+bc≤322,当且仅当a2=c2=b22=34时,等号成立.所以ab+bc的最大值为322.4.解(1)当a=1时,f(x)>0化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.综上,f(x)>0的解集为x23<x<2.(2)存在.若a>-1,则f(x)=x-a-3,x<-a,3x+a-3,-a≤x≤1,-x+a+1,x>1.此时f(x)的最大值f(1)=a,当a=0时满足题设.若a<-1,则\nf(x)=x-a-3,x<1,-3x-a+1,1≤x≤-a,-x+a+1,x>-a.此时f(x)的最大值f(1)=-a-2,当a=-2时满足题设.若a=-1,则f(x)=-|x-1|-1<0,所以当a=-1时不满足题设.综上所述,存在实数a=0或a=-2满足题设.5.解(1)f(x)=|x+1|+3|x-a|≤2x+3可转化为x≥1,4x-2≤2x+3或-1<x<1,4-2x≤2x+3或x≤-1,2-4x≤2x+3,解得1≤x≤52或14≤x<1或无解.所以不等式的解集为14,52.(2)依题意,问题等价于关于x的不等式|x+1|+|x-a|<4有解,即(|x+1|+|x-a|)min<4,又|x+1|+|x-a|≥|x+1-x+a|=|a+1|,当(x+1)(x-a)≤0时取等号.所以|a+1|<4,解得-5<a<3,所以实数a的取值范围是(-5,3).6.解(1)f(x)=|x-2|+|3x-4|=4x-6,x≥2,2x-2,43<x<2,-4x+6,x≤43.由f(x)>2得x≥2,4x-6>2或43<x<2,2x-2>2或x≤43,-4x+6>2,∴不等式的解集为{x|x<1,或x>2}.(2)由(1)可知f(x)min=f43=23,∴3a+4b=2,(a-2)2+b2表示直线3x+4y-2=0上的点与点A(2,0)的距离的平方,其最小值为点A(2,0)到直线的距离的平方.点A(2,0)到直线的距离的最小值为d=|3×2-2|32+42=45,∴(a-2)2+b2的最小值为1625.7.解(1)依题意得f(x+2)=|x|-m,f(x+2)≤0,即|x|≤m,可得m=1.(2)依题意得a2+b2+c2=1(a,b,c>0),由柯西不等式得,a+2b+3c≤12+22+32·a2+b2+c2=14,当且仅当a=b2=c3,即a=1414,b=147,c=31414时取等号.故a+2b+3c的最大值为14.\n8.解(1)∵f(x)=|x+1|+|2x-2|=-3x+1,x<-1,-x+3,-1≤x≤1,3x-1,x>1,∴f(x)在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(1)=2,故当x=1时,f(x)取得最小值2.(2)由(1)得f(x)min=2,而g(x)=|x-1|+|x+3m|-m≥|x-1-x-3m|-m=|1+3m|-m.由题意知,对任意x1∈R,存在x2∈R使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min,即2≥|1+3m|-m,所以2+m≥0,(2+m)2≥(1+3m)2,解得-34≤m≤12,即m的取值范围为-34,12.9.解(1)由f(x)>g(x),得|3x+6|>|x-3|,平方得(3x+6)2>(x-3)2,得8x2+42x+27>0,解得x<-92或x>-34.故不等式f(x)>g(x)的解集是-∞,-92∪-34,+∞.(2)f(x)+3g(x)≥a2-2a恒成立,即|3x+6|+|3x-9|≥a2-2a恒成立,只需(|3x+6|+3|x-3|)min≥a2-2a即可.而|3x+6|+|3x-9|≥|3x+6-(3x-9)|=15,所以a2-2a≤15,得a2-2a-15≤0,解得-3≤a≤5.故实数a的取值范围是[-3,5].
