课时规范练53 几何概型基础巩固组1.(2022湖南邵阳一模,文3)在区间[-1,4]上随机选取一个数x,则x≤1的概率为( ) A.25B.35C.15D.232.在区间[-1,4]上取一个数x,则2x-x2≥14的概率是( ) A.12B.13C.25D.353.(2022福建龙岩一模,文7)在区间[0,π]上随机取一个数x,则y=sinx的值在0到12之间的概率为( )A.16B.13C.12D.2π4.北宋欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.因曰:‘我亦无他,唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达到熟能生巧之境.若铜钱是半径为1cm的圆,中间有边长为0.5cm的正方形孔,随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A.1πB.14πC.12D.14〚导学号24190843〛5.已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.186.(2022山东枣庄一模,文6)已知点P是△ABC所在平面内一点,且PA=-2PB,在△ABC内任取一点Q,则Q落在△APC内的概率为( )A.13B.23C.14D.127.已知△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.236\n8.(2022江苏,7)记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 . 9.在区间-π2,π2上随机地取一个数x,则事件“cosx≥12”发生的概率为 . 10.(2022福建福州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M,则满足∠AMB>90°的概率为 . 11.在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 . 综合提升组12.设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( )A.34+12πB.12+1πC.14-12πD.12-1π13.(2022山东临沂一模,文8)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为( )A.34B.23C.12D.1314.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件f(2)≤12,f(-2)≤4为事件A,则事件A发生的概率为( )A.14B.58C.12D.38〚导学号24190844〛15.一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行,则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为 . 16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .〚导学号24190845〛 创新应用组17.(2022宁夏银川一中二模,文16)已知实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,则函数y=13ax3+ax2+b有三个零点的概率为 . 18.(2022河南洛阳一模,文16)已知O(0,0),A(2,1),B(1,-2),C35,-15,动点P(x,y)满足0≤OP·OA≤2且0≤OP·OB≤2,则点P到点C的距离大于14的概率为 . 6\n答案：1.A ∵在区间[-1,4]上随机选取一个数x,∴x≤1的概率P=1-(-1)4-(-1)=25,故选A.2.D 不等式2x-x2≥14,可化为x2-x-2≤0,则-1≤x≤2,故所求概率为2-(-1)4-(-1)=35.3.B 在区间[0,π]上,y=sinx的值在0到12之间,则x∈0,π6∪5π6,π,区间长度为π3,故所求概率为π3π-0=13,故选B.4.B 由题意可得半径为1cm的圆的面积为π×12=π(cm2),而边长为0.5cm的正方形面积为0.5×0.5=0.25(cm2),故所求概率为0.25π=14π.5.A 试验的所有结果构成的区域长度为10min,而构成所求事件的区域长度为1min,故所求的概率为110.6.B 由题意,得P在AB上且PA=2PB,以面积为测度,在△ABC内任取一点Q,则Q落在△APC内的概率为23,故选B.7.C 如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.8.59 由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.9.23 由题知所求概率P=π3--π3π2--π2=23.10.6\nπ8 如图,如果点M位于以AB为直径的半圆内部,则∠AMB>90°,否则,点M位于半圆上及空白部分,则∠AMB≤90°,所以∠AMB>90°的概率P=12×π×1222=π8.11.23 当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,应有Δ=(2p)2-4(3p-2)≥0,x1+x2=-2p<0,x1x2=3p-2>0,0≤p≤5,解得p≥2或p≤1,p>0,p>23,0≤p≤5,所以23<p≤1或2≤p≤5,即p∈23,1∪[2,5],由几何概型的概率计算公式可知所求概率为1-23+(5-2)5=23.12.C 由|z|≤1,得(x-1)2+y2≤1.不等式表示以C(1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y≥x表示直线y=x左上方部分(如图所示).则阴影部分面积S阴=14π×12-S△OAC=14π-12×1×1=π4-12.故所求事件的概率为S阴S圆=π4-12π×12=14-12π.13.C 要使直线y=kx+52与圆x2+y2=1相交,应满足52k2+1≥1,解得-12≤k≤12,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.故选C.14.C 由题意,得4+2b+c≤12,4-2b+c≤4,0≤b≤4,0≤c≤4,即2b+c-8≤0,2b-c≥0,0≤b≤4,0≤c≤4,6\n表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为12,故选C.15.1-π12 记昆虫所在三角形区域为△ABC,且AB=6,BC=8,CA=10,则有AB2+BC2=CA2,AB⊥BC,该三角形是一个直角三角形,其面积等于12×6×8=24.在该三角形区域内,到三角形任一顶点的距离不大于2的区域的面积等于A+B+C2π×π×22=π2×22=2π,因此所求的概率等于24-2π24=1-π12.16.78 以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系,因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,即所求事件A发生,所以P(A)=1×1-12×12×121×1=78.17.516 对y=13ax3+ax2+b求导数可得y'=ax2+2ax,令ax2+2ax=0,可得x=0或x=-2,0<a<1,x=-2是极大值点,x=0是极小值点,函数y=13ax3+ax2+b,有三个零点,可得f(-2)>0,f(0)<0,即4a+3b>0,b>0.画出可行域如图,满足函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,如图深色区域,实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,为长方形区域,所以长方形的面积为2,深色区域的面积为12×(1+14)=58,6\n∴所求概率为P=582=516,故答案为516.18.1-5π64 由题意,OP·OA=2x+y,OP·OB=x-2y,∴0≤OP·OA≤2且0≤OP·OB≤2,∴0≤2x+y≤2,0≤x-2y≤2,则点P到点C的距离的平方z=x-352+y+152>116,作出不等式组对应的平面区域如图,|CP|>14,则对应的部分为阴影部分,由2x+y=2,x-2y=0,解得x=45,y=25,即E45,25,|OE|=452+252=255,∴正方形OEFG的面积为45,则阴影部分的面积为45-116π,∴所求的概率为45-116π45=1-5π64.6
