第六章 不等式、推理与证明第四节 合情推理与演绎推理课时规范练A组——基础对点练1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．答案：D3．(2020·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为( )A．(3，9)B．(4，8)C．(3，10)D．(4，9)解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.答案：D4．下列结论正确的个数为( )(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．\n(4)平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.A．0B．1C．2D．3解析：(1)不正确．(2)(3)(4)正确．答案：D5．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15，2)表示为( )A.B．C.D．解析：由已知中归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数字等于上一行该数字“肩膀”上两个数字的和，故A(15，2)＝＋＋＋＋…＋＝＋2×＝.故选C.答案：C6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2>0⇒z1>z2.”其中类比得到的结论正确的个数是( )\nA．0 B．1C．2D．3解析：由复数的减法运算可知①正确；因为a，b，c，d都是有理数，是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．答案：C7．若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为( )A. B．q2 C. D.解析：由题设得，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.所以＝b1q，所以等比数列{}的公比为.答案：C8．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，观察下列运算：a1·a2＝log23·log34＝·＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；….若a1·a2·a3·…·ak(k∈N＋)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2016时，“企盼数”k为( )A．22016＋2B．22016C．22016－2D．22016－4解析：a1·a2·a3·…·ak＝＝2016，lg(k＋2)＝lg22016，故k＝22016－2.答案：C9．观察如图，可推断出“x”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52\n＋72＋102＝183.答案：18310．观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为________．解析：等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.答案：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋B组——素养提升练11．(2020·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日解析：1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10日和12日；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11日只能是丙去值班了，余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天，显然，6日只能是丙去值班了．答案：C12．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为11，9，7，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，比如a3，2＝9，a4，2＝15，a5，4＝23，若ai，j＝2017，则i＋j＝( )\nA．64B．65C．71D．72解析：奇数数列an＝2n－1＝2017⇒n＝1009，按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则i＝45，j＝27⇒i＋j＝72.答案：D13．(2020·合肥模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A．11010B．01100C．10111D．00011解析：对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.答案：C14．(2020·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N＋)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( )A.B．C.D．\n解析：由题意：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值，即＜π＜，第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得＝是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜.答案：A15．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋)，其中λ＞0，{an}的通项公式是________．解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n.答案：an＝(n－1)λn＋2n16．(2020·合肥模拟)已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有________成立．解析：运用类比思想与数形结合思想，可知y＝sinx(x∈(0，π))的图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝sinx(x∈(0，π))图像上的点的纵坐标，即＜sin成立．答案：＜sin
