第三章 三角函数、解三角形第六节 简单的三角恒等变形课时规范练A组——基础对点练1．化简：＝( )A．sin2α B．tan2αC．sin2D．tan2解析：原式＝＝tan2.答案：D2．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝( )A.B．C.D．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.答案：A3．计算：＝( )A.B．－C.D．－解析：原式＝－·＝·tan＝－.答案：D4．(2020·长沙质检)sin163°sin223°＋sin253°·sin313°等于( )\nA．－B．C．－D．解析：原式＝sin163°sin223°＋cos163°·cos223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝.答案：B5．(2020·吉林三模)已知＝tanβ，且β－α＝，则m＝( )A．1B．－1C.D．－解析：由于＝＝tanβ＝tan(α＋)＝，故m＝1.答案：A6．(2020·青岛二模)若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α为第二象限角，则tan(α＋)＝( )A．7B．C．－7D．－解析：sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，即sinαcosβsinβ－cosαsin2β－cosαcos2β－sinαsinβcosβ＝，即cosα＝－.又α为第二象限角，∴tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝，故选B.答案：B7．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋·tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是( )A．α＜＜βB．β＜＜αC.＜α＜βD．＜β＜α解析：因为α是锐角且sinα－cosα＝＞0，\n所以sinα＞cosα，即tanα＞1，故α＞，又因为tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，所以tan(α＋β)＝＝，故α＋β＝，所以α＝－β＞，故β＜，所以β＜＜α.答案：B8．函数f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x(x∈R)是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数解析：f(x)＝(1＋cos2x)(1－cos2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，f(－x)＝(1－cos4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D.答案：D9．(2020·宁波模拟)已知sinα＝，α∈(，π)，则＝________．解析：＝＝cosα－sinα，∵sinα＝，α∈(，π)，∴cosα＝－，∴原式＝－.答案：－10．(2020·江西名校联考)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是________．\n解析：∵cos(α－)＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，(cosα＋sinα)＝，sin(＋α)＝，∴sin(＋α)＝，∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－.答案：－B组——素养提升练11．已知f(x)＝2tanx－，则f＝______．解析：因为f(x)＝2tanx－＝2tanx＋2·＝＋＝＝，所以f＝＝＝8.答案：812．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小值是__________．解析：f(x)＝sin2x＋sinx·cosx＝＋sin2x＝sin＋，当sin＝－1时，f(x)min＝.答案：13．已知函数f(x)＝sin(3x＋)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)·cos2α，求cosα－sinα的值．解析：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.\n(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin＝(cosαcos－sinαsin)·(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.14．已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)在区间x∈(0，π)上的单调递增区间；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝4cosωxsin＝4cosωx＝2sinωxcosωx－2cos2ωx＋1－1＝sin2ωx－cos2ωx－1＝2sin－1，且f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1，从而f(x)＝2sin－1.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在x∈(0，π)上的单调递增区间为和.\n(2)当x∈时，2x∈，所以2x－∈，2sin∈，所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1，所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1.
