课时规范练22 简单的三角恒等变换 基础巩固组1.函数f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是( )A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin2α=cos2α-1,则sinα=( )A.15B.55C.-55D.2553.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=( )A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点Px,-35,且sinαcosα>0,则1-sin2α+2+2cos2α的值等于( )A.95B.75C.65D.35.已知cos2π3-2θ=-79,则sinπ6+θ的值等于( )A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sinα-cosα=55,则tanα+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(2020皖豫名校联考一,理8)tan195°+22cos285°=( )A.2B.1C.22D.128.(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f(x)=sinxsinx+π3-14的定义域为[m,n](m<n),值域为-12,14,则n-m的值可能是( )A.5π12B.12π5C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tanα2=52,则sinπ2+α= . \n10.(2020山东济南一模,13)已知cos2α-π3=23,则12-sin2α-π6的值为 . 11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sinα-π4=55,则tanα= . 12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos2α=sinα+π4,则sin2α的值为 . 综合提升组13.已知f(x)=sin2x+sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( )A.π [0,π]B.2π -π4,3π4C.π -π8,3π8D.2π -π4,π414.已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin2(α+γ)=3sin2β,则m=( )A.-1B.34C.32D.215.已知cosα=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,则cosα+π4= . 创新应用组17.(2020皖豫名校联考一,理12)函数f(x)=2sinx-3cos2x-cosx-2sin2x+3在0,π2上的最小值为( )A.-32B.-32C.-54D.-118.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R的函数f(x)满足f12=12,f'(x)+4x>0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则不等式f(sinx)-cos2x≥0的解集为( )A.-π3+2kπ,π3+2kπ,k∈ZB.-π6+2kπ,π6+2kπ,k∈ZC.π3+2kπ,2π3+2kπ,k∈ZD.π6+2kπ,5π6+2kπ,k∈Z\n参考答案课时规范练22 简单的三角恒等变换1.B f(x)=2sinx+π6×2cosx+π6=2sin2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B.2.D ∵α∈(0,π),∴sinα>0,∵2sin2α=cos2α-1,即4sinαcosα=(1-2sin2α)-1,整理得cosα=-12sinα,代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=255.故选D.3.C 因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=12.若cosα=0,则α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.若tanα=12,则tan2α=2tanα1-tan2α=43.综上所述,故选C.4.A 已知α终边与单位圆的交点Px,-35,且sinαcosα>0,∴x<0,故x=-45,∴sinα=-35,cosα=x=-45.则1-sin2α+2+2cos2α=|cosα-sinα|+4cos2α=15+85=95.故选A.5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cosπ-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos2π6+θ=-1-2sin2π6+θ=-79,解得sin2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B.6.C ∵sinα-cosα=55,则(sinα-cosα)2=15,即1-sin2α=15,得sin2α=45,∴(sinα+cosα)2=1+sin2α=1+45=95,则sinα+cosα=355,又sinα-cosα=55,∴sinα=255,cosα=55,∴tanα=2,∴tanα+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.\n7.B tan195°+22cos285°=tan15°+22sin15°=sin15°cos15°+22sin15°=sin15°+2sin30°cos15°=sin15°+2sin(45°-15°)cos15°=1.8.A f(x)=sinxsinx+π3-14=sinx12sinx+32cosx-14=14(1-cos2x)+34sin2x-14=1232sin2x-12cos2x=12sin2x-π6.作出函数f(x)的图象如图所示,在一个周期内考虑问题.易得m=π2,5π6≤n≤7π6或π2≤m≤5π6,n=7π6满足题意,所以n-m的值可能为区间π3,2π3上的任意实数.故选A.9.-19 sinπ2+α=cosα=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13 ∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12-1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.\n11.3 ∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=55,得cosα-π4=255.∴sinα=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=55×22+255×22=31010,cosα=1-sin2α=1010,∴tanα=3.12.78 由2cos2α=sinα+π4,得2cos2α=22sinα+22cosα,两边平方得4cos22α=12(1+sin2α),即8(1-sin22α)=1+sin2α,整理得(7-8sin2α)(1+sin2α)=0,又α∈0,π2,所以sin2α=78或sin2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.14.D ∵sin2(α+γ)=3sin2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=2,故选D.15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cosα=13,∴cos2α=2cos2α-1=-79,∴sin2α=1-cos22α=429.\n∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-79×-13+429×223=2327.16.-5665 ∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=1-sin2(α+β)=45.又β-π4∈π2,3π4,sinβ-π4=1213,∴cosβ-π4=-1-sin2(β-π4)=-513.∴cosα+π4=cos(α+β)-β-π4=cos(α+β)cosβ-π4+sin(α+β)sinβ-π4=45×-513+-35×1213=-5665.17.C 依题意,f(x)=2sinx+3sin2x-cosx-4sinxcosx=2sinx-cosx+4sin2x-4sinxcosx+cos2x-1=(2sinx-cosx)2+(2sinx-cosx)-1,令2sinx-cosx=t,因为x∈0,π2时,t=2sinx-cosx是增函数,所以t∈[-1,2].因为y=t2+t-1=t+122-54,所以y∈-54,5,故最小值为-54.18.D 令g(x)=f(x)+2x2-1,g'(x)=f'(x)+4x>0,故g(x)在R上单调递增,且g12=f12+2×122-1=0,所以f(sinx)-cos2x=f(sinx)+2sin2x-1≥0,即g(sinx)≥g12,则sinx≥12,解得π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ,k∈Z.故选D.
