第九章 解析几何第九节 直线与圆锥曲线的综合问题第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2019届厦门模拟)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ＝60°，|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．解析：选D ∵|PF1|＝|PQ|，且∠F1PQ＝60°，∴△F1PQ为等边三角形，又周长为4a，∴△F1PQ的边长为，在△PF1F2中，|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F1|＝2c，∴利用余弦定理得＋－2×××cos60°＝(2c)2，即a2＝3c2，∴e2＝＝，∴e＝.2．已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0，1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为( )A．y＝±x＋1B．y＝±x＋1C．y＝±x＋1D．y＝±x＋1解析：选B 依题意，知斜率存在，可设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，则解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1，故选B．3．如图，F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l\n交双曲线C于A，B两点，若双曲线C的离心率为，|AB|＝|AF2|，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．解析：选D 由题意及双曲线的定义可得则|BF1|＝2a.又|BF2|－|BF1|＝2a，故|BF2|＝|BF1|＋2a＝4a.在△BF1F2中，由余弦定理可得16a2＝4a2＋4c2－2×2a×2ccos∠BF1F2，即3a2＝c2－2accos∠BF1F2，又e＝＝，所以cos∠BF1F2＝，所以sin∠BF1F2＝，则直线l的斜率k＝tan∠BF1F2＝，故选D．4．(2019届湖北武汉4月调研)过点P(4，2)作直线AB与双曲线C：－y2＝1交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝( )A．2B．2C．3D．4解析：选D 由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，由消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝.因为P(4，2)为AB的中点，所以＝8，解得k＝1，满足Δ>0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝×＝4.故选D．\n5．(2019届湖南长沙二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(a>0)在抛物线C上，|AF|＝3.若直线AF与抛物线C交于另一点B，则|AB|＝( )A．12B．10C．9D．4.5解析：选C 由抛物线的定义知|AF|＝＋＝3，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，又A(1，a)(a>0)在抛物线C上，则a2＝8，解得a＝2或a＝－2(舍去)，所以A(1，2)．又焦点为F(2，0)，所以直线AF的斜率为－2，直线AF的方程为y＝－2(x－2)，代入抛物线C的方程y2＝8x，得x2－5x＋4＝0，所以xA＋xB＝5，所以|AB|＝xA＋xB＋p＝5＋4＝9，故选C．6．(2019届湖南百所名校4月大联考)已知椭圆C：＋＝1(0<b<2)，作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，与的夹角为θ，且|tanθ|＝3，则b＝( )A．1B．C．D．解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式作差得＋＝0.由题意知＝－1，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴－＝0，即＝.设直线OM的倾斜角为α，则θ＝α＋或θ＝－α，tanθ＝±，又tanα＝＝，＝3，结合0<b<2，得b2＝2，即b＝，故选B．\n7．(2019届辽宁五校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b.(1)求椭圆C的方程；(2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个顶点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x＝m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．解：(1)由题意得F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，则由题意得2a＋2c＝6， ①直线BF2的方程为bx＋cy－bc＝0，所以＝b，即b2＝3c2. ②又a2＝b2＋c2， ③所以由①②③可得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)知A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则直线A1P的方程为y＝(x＋2)，所以M.又点P在椭圆C上，所以y＝3，若以MP为直径的圆过点A2，则A2M⊥A2P，即·＝0，所以(x0－2，y0)＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)＝(x0－2)＝0.又点P不同于点A1，A2，所以x0≠±2，所以m－＝0，所以m＝14.8．(2019届成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．\n(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.解：由题意知，F(1，0)，E(5，0)，M(3，0)．(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.∴直线l1的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.∴|AB|＝·＝×＝.(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，∴＝，∴y0＝.∵y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)＝＝＝0.∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.B级·素养提升|练能力|9.(2019届湖北武汉4月调研)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2\n＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为( )A．B．C．D．解析：选D 由题意知k>0，联立整理得(1－k2)x2＋2kx－5＝0 ①，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，所以方程①有两个不同的正实数根，设为x1，x2，则解得1<k<，即k∈，故选D．10．(2019届河北石家庄二模)已知倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．解析：选B 由题可知，直线的方程为y＝x－c与椭圆方程联立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得∴＝，又b2＝a2－c2，∴e＝，故选B．11．(2019届河北石家庄4月模拟)已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2，0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为________．解析：由题意知，点P(2，0)在双曲线内，故满足条件的直线l\n只能是与双曲线的两条渐近线y＝±x平行的直线．又该直线过点P(2，0)，因此该直线l的方程为y＝±(x－2)．答案：y＝±(x－2)12．(2020届贵阳摸底)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的左焦点F1到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y＝kx＋m(k＜0)与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程．解：(1)∵椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，∴＝.又双曲线－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－y＝0，椭圆C的左焦点F1(－c，0)，∴由题意知，＝，解得c＝1，∴a＝，b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)知F2(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l：y＝kx＋m(k＜0)的距离为，得＝，即m2＝(1＋k2)． ①将y＝kx＋m代入＋y2＝1中，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，∴Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝.又以线段AB为直径的圆经过点F2，∴·＝0，即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，∴(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(1＋k2)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，∴(1＋k2)·＋(km－1)·＋m2＋1＝0，化简得3m2＋4km－1＝0. ②\n由①②，得11m4－10m2－1＝0，∴m2＝1.又k＜0，∴满足Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，∴直线l的方程为y＝－x＋1.
