第九章 解析几何第六节 双曲线A级·基础过关|固根基|1.(2019届河北九校第二次联考)已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A．虚轴长为4B．焦距为2C．离心率为D．渐近线方程为2x±3y＝0解析：选D 由题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A、B不对；离心率e＝＝，所以选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D．2．(2019届福建省质检)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则双曲线C的渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x解析：选D 设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意，得c＝.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以＝2.又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D．3．(2019届江西省八所重点中学联考)已知点P(3，)为双曲线－y2＝1(a>0)上一点，则它的离心率为( )A．B．C．D．2解析：选B 由双曲线－y2＝1(a>0)可得b2＝1.根据点P(3，)在双曲线上可得－2＝1，解得a2＝3，∴e2＝＝1＋＝1＋＝，解得e＝，故选B．\n4．(2020届惠州调研)设双曲线的一条渐近线为直线y＝2x，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A．x2－5y2＝1B．5y2－x2＝1C．5x2－y2＝1D．y2－5x2＝1解析：选C 抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意可得解得所以双曲线的方程为5x2－y2＝1，故选C．5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点F向两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，若四边形OMFN的面积为，其中O为坐标原点，则该双曲线的焦距为( )A．2B．C．3D．4解析：选D 由双曲线的离心率为2可得，＝4，又a2＋b2＝c2，所以＝.因为F(c，0)到渐近线y＝±x的距离d＝|FM|＝|FN|＝＝b，所以|OM|＝|ON|＝＝a，故S四边形OMFN＝2S△OMF＝2×ab＝，得ab＝.又＝，所以a＝1，b＝，得c＝2，故该双曲线的焦距为2c＝4.6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线D：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，若点P(m，1)是抛物线D与双曲线C的一个公共点，则双曲线C的标准方程为( )A．－＝1B．－y2＝1C．－y2＝1D．－＝1解析：选B 由已知可得，e2＝＝，所以a2＝9b2，即b＝a.由抛物线D：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，得－＝－，解得p＝9，所以抛物线D\n的方程为x2＝18y.由点P(m，1)在抛物线D上，得m2＝18，解得m＝±3.又点P(m，1)在双曲线C上，可得解得故双曲线C的标准方程为－y2＝1.故选B．7．(2019届潍坊市高三统一考试)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A．1B．C．2D．2解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3.又e＝＝2，所以a＝1，所以该双曲线的实轴的长为2a＝2.8．(2020届大同调研)已知F1，F2是双曲线M：－＝1的焦点，y＝x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|·|PF2|＝( )A．8B．6C．10D．12解析：选D 由M的一条渐近线方程为y＝x，得＝，解得m2＝5，所以M的半焦距c＝3.因为椭圆E与双曲线M的焦点相同，椭圆E的离心率e＝，所以E的长半轴长a＝4.不妨设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆与双曲线的定义有|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝6，|PF2|＝2，所以|PF1|·|PF2|＝12，故选D．9．(2019届洛阳市高三第一次联考)设双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为( )A．B．C．D．无法确定\n解析：选B 在双曲线C：－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设M在直线y＝x上，N在直线y＝－x上，则直线MF的斜率为－，其方程为y＝－(x－5)，设M，代入直线MF的方程，得t＝－(t－5)，解得t＝，即M.由对称性可得N，所以直线MN的方程为x＝.设P(m，n)，则d＝，－＝1，即n2＝(m2－16)，则|PF|＝＝|5m－16|，故＝＝，故选B．10．(2019届郑州市第一次质量预测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为( )A．8B．9C．10D．11解析：选B 由题意，知2a＝6，则a＝3，又由＝，得b＝1，所以c＝＝，则F1(－，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝＋5＝9，故选B．11．(2019届昆明市高三诊断测试)已知点P(1，)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点，若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为________．解析：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，由渐近线过点P(1，)，得＝，且|OP|＝2.焦点到渐近线的距离是b，即|PF|＝b，在Rt△OPF中，|OF|2＝|OP|2＋|PF|2，即c2＝22＋b2.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2，所以双曲线C的方程为－＝1.答案：－＝112．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率的取值范围是(1，2]，其左、右焦点分别为F1，F2，若M是该双曲线右支上一点，则＝________．\n解析：设＝λ(λ>1)，则|MF1|＝λ|MF2|，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，所以|MF2|＝，由题意知|MF2|≥c－a，即≥c－a，解得e≤＋1.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率的取值范围是(1，2]，所以＋1＝2，解得λ＝3，即＝3.答案：3B级·素养提升|练能力|13.(2019年天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )A．B．C．2D．解析：选D 由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得，＝4，即b＝2a，即b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.故选D．14．(2019年全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )A．B．C．2D．3解析：选A 设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形PFO底边OF上的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝.15．(2019年全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A．B．C．2D．解析：选A 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为\n＋y2＝①，x2＋y2＝a2②，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦PQ所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A．16．(2019年全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则双曲线C的离心率为________．解析：解法一：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan2∠BF1O，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.解法二：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B．又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B．又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.答案：217．(2020届四川五校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线与双曲线C交于A，B两点，若∠AF2B＝60°，△ABF2的面积为a2，则双曲线的渐近线方程为________________．解析：解法一：如图，连接AF1，BF1，则由双曲线的对称性得四边形AF2BF1是平行四边形，设|AF2|＝x，则|BF1|＝x，则|BF2|＝x\n＋2a，由题意可知，S△ABF2＝x·(x＋2a)·＝a2，解得x＝(－1)a或x＝(－－1)a(舍去)，则|BF2|＝(＋1)a.在△BF1F2中，由余弦定理得4c2＝(－1)2a2＋(＋1)2a2－2(－1)(＋1)a2·，化简得c2＝4a2.又在双曲线中c2＝a2＋b2，故b2＝3a2，＝±，所以渐近线方程为y＝±x.解法二：如图，连接AF1，BF1，则由双曲线的对称性得四边形AF2BF1是平行四边形．因为∠AF2B＝60°，所以∠F1AF2＝120°，所以S△ABF2＝SAF2BF1＝S△AF1F2＝＝a2，得＝3，＝±，所以渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±x18．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，P为双曲线右支上的一点，过点F1作与x轴垂直的直线l，若点P到直线l的距离d满足＝，则双曲线的离心率e的取值范围为________．解析：设P(x0，y0)，则x0≥a，d＝x0＋c.因为点P在双曲线上，所以－＝1，所以y＝(x－a2)，所以|PF1|＝＝＝＝a＋ex0，所以＝＝，得3c－2a＝(2e－3)x0，易知2e－3≠0，则x0＝≥a，解得e>.答案：
