课后限时集训(四十二) 直线、平面平行的判定及其性质建议用时：40分钟一、选择题1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α与直线l至少有两个公共点D．α内的直线与l都相交B [∵l⊄α，且l与α不平行，∴l∩α＝P，故α内不存在与l平行的直线．故选B.]2.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能B [由面面平行的性质可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB，故DE∥AB.所以选B.]3．(多选)(2020·山东济宁期末)已知m，n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥βBC [A.若m∥α，n∥β且α∥β，则可能m∥n，m，n异面，或m，n相交，A错误；B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；C．若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误．故选BC.]4．(多选)设m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β\nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αABD [A选项中，m，n还可能异面；B选项中，α，β可能平行或相交；易知C正确；D选项中，只有m，n相交才可推出l⊥α.]5.如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为( )A.B．C.D．C [由AB∥α∥β，易证＝，即＝，所以BD＝＝＝.]6．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )A．0条B．1条C．2条D．0条或2条C [如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.]二、填空题7．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．①和③ [由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．]8.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________． [在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，\n∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.]9．棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________． [如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.]三、解答题10．(2020·徐州模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点．求证：(1)MN∥平面ABC；(2)EF∥平面AA1B1B.[证明] (1)∵M、N分别是A1B和A1C的中点．∴MN∥BC，又BC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC.(2)如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.∵D为A1B1的中点，E为A1C1中点，∴DE∥B1C1且DE＝B1C1，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中点，∴BF∥B1C1且BF＝B1C1，∴DE∥BF且DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形，∴EF∥BD，又BD⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，∴EF∥平面AA1B1B.11.如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点．(1)若M为BB′的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD；(2)在(1)的条件下，当正方体的棱长为2时，求三棱锥MEBF的体积．\n[解] (1)证明：∵在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点，M为BB′的中点，∴ME∥AB，MF∥B′C′∥BC，∵ME∩MF＝M，AB∩BC＝B，ME，MF⊂平面MEF，AB，BC⊂平面ABCD，∴平面EMF∥平面ABCD.(2)∵E，F分别是AB′，BC′的中点，M为BB′的中点，∴ME綊AB＝1，MF綊BC＝1，BM⊥平面MEF，BM＝1，∵AB⊥BC，∴EM⊥MF，∴S△MEF＝×ME×MF＝×1×1＝，∴三棱锥MEBF的体积：VMEBF＝VBMEF＝×S△EMF×BM＝××1＝.1．(多选)如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论正确的有( )A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90°D．ON⊥PBABD [选项A，连接BD(图略)，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON，又ON⊂平面OMN，PD⊄平面OMN，由线面平行的判定定理可得，PD∥平面OMN，A正确；选项B，由M，N分别为侧棱PA，PB的中点，得MN∥AB，又底面为正方形，所以MN∥CD，又MN⊂平面OMN，CD⊄平面OMN，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN，又选项A中得PD∥平面OMN，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，由面面平行的判定定理可得，平面PCD∥平面OMN，B正确；选项C，因为MN∥CD，所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角，又因为四棱锥中所有棱长都相等，所以∠PDC＝60°，故直线PD与直线MN所成角的大小为60°，C错误；选项D，因为底面为正方形，所以AB2＋AD2＝BD2，又所有棱长都相等，所以PB2＋PD2＝BD2，故PB⊥PD，又PD∥ON，所以ON⊥PB，D正确．故选ABD.]\n2.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且它们分别是AB，BC，SC，SA的中点，那么四边形DEFH的面积为( )A．18B．18C．36D．36A [因为D，E，F，H分别是AB，BC，SC，SA的中点，所以DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD＝SB＝6，DE＝AC＝3.如图，取AC的中点O，连接OB、SO，因为SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，所以AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，所以AO⊥平面SOB，所以AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，所以四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，故选A.]3.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E、F分别是PA、PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．[解] 直线l∥平面PAC，证明如下：因为E、F分别是PA、PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.\n1.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)点M在线段FH上(或点M与点H重合) [连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.]2.如图，四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD.(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB，又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四边形DCEH为平行四边形，所以CE∥DH，又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD.(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，证明如下：取AB的中点F，连接CF，EF，则AF＝AB，因为CD＝AB，所以AF＝CD，又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，\n因此CF∥AD.又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD，由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中点F满足要求．
